Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
2.2. Укороченные уравнения в приближении плоских волн
39
правления векторного оое-синхронизма. Из точки Л1Х, являющейся точкой пересечения прямой ОВх с сечением поверхности вектора Ке, опишем окружность радиуса | к? |.
Она пересечет сечение поверхности вектора к° в точках Рх и Qi- Эти точки выявят направления соответственно вектора kj и вектора к°; именно так должны быть направлены волновые векторы волн на основной частоте, чтобы волновой вектор второй гармоники имел выбранное направление 0BV На том же рисунке показано еще одно направление векторного синхронизма — направление ОВ2. В этом случае направления векторов к“ и к° определяются точками Р2 и
Векторный оее-синхронизм описывается соотношением
(2.1.11). Этот синхронизм иллюстрирует рис. 2,5, в, где приведены сечения поверхностей волновых векторов kj, к® и Ке. Толстыми стрелками показаны упомянутые векторы, удовлетворяющие условию синхронизма (2.1.11) для случая, когда в качестве направления волнового вектора второй гармоники (направления векторного оее-синхронизма) выбрано направление ОВ. Заметим, что угол векторного оее-синхронизма всегда больше угла скалярного оее-синхронизма, а следовательно, и угла скалярного оое-синхро-низма.
2.2. УКОРОЧЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ГЕНЕРАЦИИ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ В ПРИБЛИЖЕНИИ ПЛОСКИХ ВОЛН. КОЭФФИЦИЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОЙ связи
Будем рассматривать квадратично-нелинейный диэлектрик. Подставив (1.1.11а) и (1.1.12 а) в (1.1.16), получим волновое уравнение для рассматриваемого случая:
1Ё==-^-|г()С:ЕЕ)’ (2-2.1)
где оператор L имеет вид
= rot rot + — (1 + 4яа :) = rot rot + —--— е:
с2 дР с2 дР
(2.2.1а)
Попытки решить уравнение (2.2.1) в общем виде наталкиваются на непреодолимые математические трудности. Поэтому приходится использовать ряд упрощений.
40
Гл. 2. Генерация второй гармоники
Упрощения: основное и дополнительные. Основное упрощение связано с тем, что амплитуда световой волны может рассматриваться как медленно меняющаяся функция координат и времени; см. (1.3.2). На основе этого упрощения развит метод медленно меняющихся амплитуд, позволяющий свести волновое уравнение к системе так называемых укороченных уравнений для амплитуд взаимодействующих световых волн*).
Наряду с основным используем ряд дополнительных упрощений. Во-первых, ограничимся рассмотрением только двух различных световых волн — на основной частоте ю и на частоте второй гармоники 2 со. Это означает, что не учитывается возможность генерации волн третьей и прочих гармоник. Такое упрощение оправдано, поскольку при выполнении условия синхронизма для генерации второй гармоники не удается, как правило, обеспечить синхронизм также и для других гармоник; к тому же высшие гармоники обычно попадают в полосы поглощения. Ограничение двумя световыми волнами (на частотах со и 2 ю) означает также, что рассматривается случай скалярного оое-синхронизма. Если бы использовались другие виды синхронизма, то необходимо было бы рассматривать на частоте со не одну, а две световые волны (плюс одна волна на частоте 2 ш). Волны на частоте со отличались бы друг от друга либо направлением волнового вектора (векторный оое-синхронизм; см. рис. 2.5, а), либо поляризацией и величиной волнового вектора (скалярный оее-синхронизм; см. рис. 2.4), либо поляризацией, величиной и направлением волнового вектора (векторный оее-синхронизм; см. рис. 2.5, в).
Во-вторых, будем рассматривать стационарную одномерную задачу: две плоские волны со стационарными амплитудами распространяются в одном направлении (направлении z). Амплитуды волн зависят только от координаты z.
В соответствии с указанными упрощениями представим световое поле в виде суперпозиции поля волны на частоте со и поля волны на частоте 2 ю:
Е (z, t) = VzfciAi (z) ехР It № — +
+ е2Л2 (z) li (2 ait — Щ\ + к.с.}, (2.2.2)
*) Указанный метод был развит в теории нелинейных колебаний [5] и обобщен Р. В. Хохловым на волновые процессы [6]. Подробнее
о методе м едленно меняющихся амплитуд см. в [7J.
2.2. Укороченные уравнения в приближении плоских волн
41
где
k = юя(ю)/с; /( = 2от(2(й)/с. (2.2.3)
Подставляя (2.2.2.) в (1.1.12 а) и удерживая только члены с частотами со и 2о), находим
Рнл (2,0 = % •• {елЛ? (z)exp [t(2cof — 2 fez)] +
+ 2 ехе2 Л* (z) Л2 (z) ехр [itof — i {К — Щ г] + к.с.}. (2.2.4)
(к этому результату можно придти также, воспользовавшись соотношением (1.3.5.); при этом надо положить а»! = со и <в2 = 2ю).
Разность К. — 2k = Ak называют волновой расстройкой (см. § 1.4). Будем полагать, что Ak < k, Ak /(.
Представим е = Re е — i Im е. Считаем, что среда является слабопоглошрющгй:
Различные факторы, сопровождающие процесс генерации второй гармоники и влияющие на его эффективность (нелинейное поглощение, тепловые самовоздействия и т. д.), будут учтены позднее.
Вывод укороченных уравнений для комплексных амплитуд*). Используя известное соотношение векторного анализа, представим
Будем полагать, что div Е = 0**) и, следовательно,
Учитывая, что Е не зависит от поперечных пространственных координат, получаем отсюда следующее выражение для
