Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
для всех значений Яь К\ и Др Положим К\ = 0. Тогда получаем Я1 = 1цНи т. е. /и = 1 и 0 = 12\Нi для всех Яь т. е. /21 = 0.
Положим теперь Яi = 0. Тогда приходим к уравнениям 0 --= Ji2Ki exp(i&i) и 0 =/22/Ci exp(t'Ai) для всех Ki и Дь т. е. J12 — /22 = 0.
Таким образом, матрица Джонса для этого идеального поляризатора имеет вид jj J. Конечно, в действительности плеика
поляроида вызывает некоторое ослабление даже для преимущественной плоскости колебания, и ее толщина достаточна для того, чтобы привести к запаздыванию сигнала по крайней мере порядка нескольких сотен длин волн. В некоторых случаях, например при расчете интерферометра, приведенную выше матрицу необходимо умножать на комплексную скалярную величину, которая описывает комплексный амплитудный коэффициент пропускания поляризатора. Если в рассмотрении используется лишь один вектор Максвелла, то вряд ли необходима информация относительно абсолютного значения фазы колебаний. Однако часто оказывается удобным данную матрицу Джонса привести к более простой или более симметричной форме путем умножения ее на подходящий фазовый множитель. Напоимер, указанную выше матрицу с одинаковым правом
Г-1 01 Гг 01
можно представить в виде I q 0J ИЛИ L0 0J'
Приложение V
Фиг. П.11.
Нетрудно также показать, что поляризатор с вертикальной плоскостью пропускания, т. е. параллельной оси у, может быть
» тт Г° °1 Г О О "I
описан матрицей Джонса вида I q j I или, например, |_ 1ф 1.
б) Рассмотрим теперь поляризатор более общего вида, т. е. такой, плоскость пропускания которого составляет угол О с осью х (фиг. П. 11). Предположим, что на этот поляризатор падает плоскополяризованная волна, плоскость колебаний которой составляет угол а с осью х. Допустим, что амплитуда этой волны равна А\ тогда по определению Х\ = A cos а, a 7i == A sin а. Через прибор пройдет лишь составляющая колебаний, параллельная плоскости пропускания поляризатора. Амплитуда этой составляющей дается выражением
(J == A cos (а — 0) = A cos а cos 0 + A sin а sin 0 = Xi cos 0 + Yx sin 0,
a проекции ее на ось х
X2 = U cos 0 = Xi cos2 0 -f Yi sin 0 cos 0
и на ось у
Y2 = Usin0 = A"icos0sin0+ Yi sin20.
Два последних уравнения можно записать в матричной форме гхп Г cos2 0 sin0cos0"| TXiT
L Y<i J = L sin 0 cos 0 sin20 JLl'iJ
Следовательно, матрица прибора имеет вид
[cos2 0 sin 0 cos 0 I sin 0 cos 0 sin2 0 J ’
Получение матриц Джонса
321
§ 2. МАТРИЦА ДЖОНСА ПРИБОРА,
ВЫЗЫВАЮЩЕГО ПРОИЗВОЛЬНУЮ ФАЗОВУЮ ЗАДЕРЖКУ
Рассмотрим кристаллическую пластинку, оптическая ось которой составляет угол а с осью х. Предположим, что в этой пластинке фаза обыкновенной волны — составляющей поля, перпендикулярной оптической оси, — отстает на б по отношению к фазе необыкновенной волны, т. е. колебания вдоль оптической оси. Прибор такого типа не вносит каких-либо изменений в вектор Максвелла для плоскополяризованной волны с колебаниями вдоль оптической оси. Допустим, что амплитуда волны равна А\ тогда, как было показано в предыдущем параграфе, посвященном поляроидам, ее составляющие записываются в виде А'! = = A cos а и Yi = A sin а. Поскольку прибор на эту волну не влияет, компоненты прошедшей волны останутся такими же, как на входе прибора, т. е. Х2 = A cos а и У2 = A sin а.
Подставляя эти выражения в общее уравнение, описывающее действие оптического прибора, находим
A cos a — J\\A cos a -f Jl2A sin а,
A sin а = J2\A cos а + J^A sin а.
Из этих уравнений сразу получаем
sin а 1 — /ц /21
tg а =
cos а /12 I — /2
(отсюда следует, что cos а не должен обращаться в нуль). Рассмотрим теперь действие прибора на пучок плоскополяризован-ного света с амплитудой А, в котором плоскость колебаний параллельна оси х. Для этого луча вектор Максвелла записывается в виде
Теперь нужно рассмотреть компоненты исследуемой волны, параллельные и перпендикулярные оптической оси. Для того чтобы их определить, используем матрицы поворота, введенные при получении матрицы Мюллера для четвертьволновой пластинки. В результате имеем
[Компонента, параллельная оптической оси "I Г ?/, “I Компонента, перпендикулярная оптической оси J L J =
[cos а sin а "1 Г Л "1 Г A cos а Т
— sin а cosaJLoJ L — /4sinaJ‘
Компонента, перпендикулярная оптической оси, отстает теперь по фазе на б, т. е. Vi умножается на ехр(—гб). Таким образом,
322
Приложение V
матрица для компонент, параллельной и перпендикулярной оптической оси, принимает вид
[?Ы-
A cos (а)
A sin (а) ехр (— /б)
Вернемся теперь к первоначальным осям. Чтобы сделать это, воспользуемся снова матрицей поворота, однако на этот раз нам нужно совершить обратный переход от осей U и V к первоначальным осям X и У. Таким образом, получаем окончательный вид вектора Максвелла
[cos (а) — sin (а) 1 Г A cos (а) 1
sin (а) cos (а) J L — A sin (а) ехр (— /б) J Г A cos2 (а) + A sin2 (а) ехр (— /б) "I
L A cos (а) sin (а) — A sin (а) cos (а) ехр (— /б) J Г {cos2 (а) + sin2 (а) ехр (— /б)} А1 L cos (а) sin а {1 — ехр(— i6)} A J
С другой стороны, можно записать
г/п /.птг/плт
2 Ц. /22 J L о J L /21л J •
Следовательно, сравнивая выражения для ?2, находим /п = cos2 (а) + sin2 (а) ехр (— /б)
