Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
[&]-*[?№]¦
Действуя точно так же для образования произведения ЖЪЖ2М\ = Л3 (Ж2Л{), получаем
= ^а?,] + 4^,] + [?“]
и аналогично
Г A|/432i "I Г А|/з21 I Г Аг/4 1
I AF432, J “ 4 L АКз2 J + L AF4 J _
=м,м,м, [ ]+и,д<,[ ^ ]+4^;]+[ ].
Если, как и в приложении I, обозначить результирующую матрицу произведения цепочки матриц, начинающейся с матрицы
Матричное описание центровки и юстировки
291
Мп и заканчивающейся матрицей Мг, через Qr, то эффективные значения А у и А У полной матрицы М = MnMn-i.. .m2Mi можно записать в следующем виде:
[tH
Эффек-
тивные
С другой стороны, поскольку Qr+iLr+i = М и Qr+i = MLr+\, этот же результат можно выразить иначе, а именно через L матрицы:
Эффективные
Примеры вычисления различных L-матриц обсуждались в приложении I.
Полную матрицу системы теперь можно записать следующим образом:
А В Ау CD AV
0 0 1 J
здесь А, В, С и D — элементы обычной полной матрицы преобразования лучей М, а Ау и AV — полные поправочные члены, рассчитанные выше.
§ 3. ВЛИЯНИЕ РАССТРОЙКИ ОПТИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА
Допустим, что полная расширенная матрица М, которую мы вычислили, описывает результат одного полного прохода луча в оптическом резонаторе. Очевидно, что-<луч^ описываемый векто-
г°
ром I 0
L1
в ОП] и распространяющийся ниже оптической оси.
преобразуется в ОПг в луч
М
АУ . 1
t который имеет иной путь.
Чтобы в этой ситуации найти новую эффективную оптическую
Уо
ось, попытаемся отыскать такой входной луч 7,10*
Уо
1
, который в
292
Приложение II
точности повторяет сам себя, т. е. является собственным вектором матрицы Ж. Очевидно, в этом случае должно выполняться соотношение
~Уо
Г А В . Ау -1 Г у0 И \ С D AF К0
L 0 0 1 J L 1 J
Vo
И J
0 0 1 j L 1
Выполняя умножение, получаем
Ау0 + BV о + Ау = Уо,
CyQ + DVo + AV = Vo У
и
1 = 1,
т. е. снова тривиальный результат. Преобразуя первые два уравнения, находим
(1 — А)у0 — BV0 = Ay,
-Cy0 + {l-D)V0 = AV.
Следовательно,
Д у -В ДК (1 - D)
Уо-
(1 -А) -С
- В (1 -D)
(1 — А) Ду
-С ДК
(1 -А) -В
-С (1 - D)
Определитель в знаменателе равен (1 — Л) (1 — D) — ВС = = 2 — Л — D, так как AD — ВС = 1. При условии, что величина 2 — Л — D не равна нулю, получаем решение
(1 - D) д«/+ s ду
Уо~ 2 - А - D
C&y + (\-A)&V V о----------------
2-A-D
Это решение можно записать в матричной форме:
Некоторые приложения этого результата в случае простого резонатора из двух зеркал рассмотрены в § 4 гл. 3.
ПРИЛОЖЕНИЕ III
СТАТИСТИЧЕСКИЙ ВЫВОД ПАРАМЕТРОВ СТОКСА
В этом приложении мы рассмотрим задачу определения состояния поляризации светового луча, который представляет собой сумму большого числа независимых осциллирующих вкладов.
В § 3 гл. 4 мы определили параметры Стокса для заданного единственного полностью поляризованного возмущения через амплитуды и фазы поперечных компонент электрического поля
Ех = Не1*
Еу = Ке
где Я и К — действительные положительные амплитуды, а разность фаз гр — ф = А. В этих обозначениях определяющие уравнения записывались в виде
/ = Я2 + К2, Q = H2-K\ U — 2НК cos А и V = 2HKsinA.
Первый параметр / представляет собой интенсивность. Напомним обычный прием вычисления этой величины из вектора электрического поля путем образования произведения скобок
Если в этом соотношении заменить каждую матрицу на эр-митово-сопряженную, то получим новое произведение, которое не является скалярной величиной, а представляет собой эрмитову матрицу 2X2:
Г Не{+1 Г Н2 НКе-^Л
Ч/Ш» ** J
Последнюю матрицу иногда называют матрицей когерентности. Видно, что каждый элемент этой матрицы можно записать с по-
10 Зак, 774
294
Приложение 111
мощью четырех действительных параметров Стокса. Обозначая матрицу когерентности через Z, можно написать
J[I + Q U-iV 1
2 Lи+ iV / - Q J'
В любой эрмитовой матрице 2X2 два диагональных элемента обязательно должны быть действительными, а два не1 диагональных элемента — комплексно сопряженными. Следовательно, при выборе элементов для Z-матрицы мы имеем только четыре степени свободы, и существует одна и только одна Z-матрица, которая соответствует четырем действительным элементам столбца Стокса.
Займемся теперь вычислением Z-матрицы,
г = [^]К ей.
в случае, когда поперечные компоненты электрического поля представляют собой суперпозицию большого числа N отдельных возмущений. Предположим, что каждое r-е возмущение можно представить в виде произведения вектора Максвелла
Г Нге1*г 1
LK^r J
на временной множитель ехр(?ш/), который берется
одним и тем же для всех N возмущений.
[Здесь следует, по-видимому, отметить два момента. Во-пер-вых, можно учесть тот факт, что каждое r-е волновое возмущение распространяется в несколько отличном от другого направлении и имеет слегка отличающуюся оптическую частоту, и считать фг и \рг — быстро меняющимися функциями времени и координат в плоскости ху. Во-вторых, читатель должен обратить внимание на то, что во многих учебниках зависимость от времени в случае электромагнитной волны описывается в виде комплексной экспоненты с отрицатёльным знаком перед мнимым показателем экспоненты: ехр(—Ш).]
