Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
0 ~~ 2 0
J -0- - 0-
(Поскольку теперь мы имеем вертикально поляризованный луч света, то, начиная с этого этапа вычислений, можно испдль-
234
Глава 4
зовать далее метод Джонса, учитывая тот факт, что 50% интенсивности входного пучка были поглощены в первом поляризаторе.)
Затем пучок проходит через второй поляризатор, плоскость пропускания которого повернута на угол 12° вправо от вертикали, так что 0 = 90°— 12° = 78°. При этом получим cos (20) = = —0,91 и sin (20) == 0,41. Для пучка света, прошедшего через второй поляризатор, вектор Стокса находим умножением вектора Стокса для пучка на выходе первого поляризатора на матрицу Мюллера второго поляризатора:
г 1 -0,91 ? ?- г 1- Г 1>911
1 -0,91 0,83 ? р 1 — 1 1 -1,74
2 0,41 -0,37 ? ? 2 0 4 0,77
- 0 0 0 0- - 0- - 0 -
Следует заметить, что в матрице Мюллера несколько матричных элементов заменены вопросительными знаками. Это связано с тем, что вектор Стокса для пучка на входе поляризатора содержит всего лишь два не равных нулю элемента, расположенных в верхней части столбца; следовательно, элементы в двух правых столбцах матрицы Мюллера будут умножаться на нулевые элементы вектора Стокса, давая нули. Поскольку результат никак не будет зависеть от значений этих элементов, нет смысла расписывать их в процессе вычислений.
Наконец, пучок проходит через последний поляризатор, плоскость пропускания которого повернута на угол 12° влево относительно вертикали, т. е. 0 = 102°, cos(20) — —0,91 и sin(20) = = —0,41. Вектор Стокса луча, прошедшего через систему, определяется выражением
г 1 -0,91 -0,41 ?- Г 1,911 г 3,17-
1 ? ? ? ? 1 -1,74 1 ?
2 ? ? ? ? 4 0,78 — 8 ?
-? ? ? ? - - 0 - - ? -
Таким образом, интенсивность пучка на выходе системы равна 3,17/8 = 0,396 (интенсивность исходного пучка принимается равной единице). Здесь снова мы заменили вопросительными знаками все матричные элементы в нижних трех строках матрицы Мюллера. Это можно сделать в силу того, что нас интересует только интенсивность пучка, прошедшего через поляризатор, поэтому нет смысла вычислять все остальные элементы вектора Стокса, за исключением первого.
Матрицы для описания состояния поляризации света
235
,Пример 3
Рассмотрим пучок эллиптически поляризованного света с правым вращением плоскости поляризации, описываемый выражениями
Х — Н cos <о/ и Y — К cos (со/ + А).
Найти угол, который образуют оси этого эллипса с осью Ох, и отношение длин осей эллипса.
Решение
Считая интенсивность пучка / = 1, в обычных обозначениях имеем Я = cos 0 и К — sin 0; следовательно, параметры Стокса записываются в виде
/— 1, Q = cos20, U = sin20 cos А,
: sin 20 sin А.
Предположим, что теперь луч проходит через поляризатор, плоскость пропускания которого образует угол а с осью Ох. Вектор Стокса для пучка на выходе этого поляризатора имеет вид
1
cos 20 sin 20 cos А sin 20 sin А -
- 1 + cos 20 cos 2a + sin 20 cos A sin 2a -|
?
?
?
Г l cos 2a sin 2a °-i
1 ? ? ? ?
2 ? ? ? ?
? ? ? .
Таким образом, если положить 2a = р, то можно показать, что интенсивность пучка, прошедшего через поляризатор, прямо пропорциональна величине
Е — 1 + cos 20 cos р + sin 20 cos A sin p.
При вращении поляризатора значения р меняются и соответствующим образом меняется интенсивность. Когда плоскость пропускания поляризатора совпадает с одной из осей эллипса, интенсивность становится либо максимальной, либо минимальной. Следовательно, мы можем найти ориентацию осей эллипса, приравнивая нулю производную интенсивности по р. Эта производная дается выражением
dE/dp ¦¦
cos 20 sin р -f sin 20 cos A cos p.
236
Глава 4
Максимум или минимум интенсивности имеет место в точках, где d?/dp обращается в нуль, т. е. когда
о л sin р sin 20 cos А . .
tg2a = tgP = -^]T---------------------------Шт-tg 20 cos А.
Если найти два решения этого уравнения относительно величины 2а, различающихся на 180°, то соответствующие значения а будут различаться на 90°. Эти значения и определяют ориентацию осей эллипса. Обозначая одно решение а, а другое а1, получаем
а1 = а + 90°,
т в
^=20"=^+ 180°.
Следовательно,
sin р1 = — sin р и cos р1 = — cos р.
Интенсивность пучка, прошедшего через поляризатор, угол ориентации которого соответствует второму решению, равна
Е1 = 1 — cos 20 cos р — sin 20 cos A sin p.
Таким образом, отношение интенсивностей, которое равно отношению квадратов осей эллипса, записывается в виде
Е1 __ 1 — (cos 20 cos ft + sin 20 cos A sin ft)
E 1 + (cos 20 cos P + sin 20 cos A sin ($)
Используя известные значения tg p, получаем значения cos p и sin p. Подставляя их в это уравнение и производя соответствующие упрощения, получаем окончательный результат:
Е1 ___ 1 — V(1 — sin2 20 sin2~Ar Е 1 + V(1 — sin2 20 sin2 A)
Читателю рекомендуется в качестве упражнения решить эту задачу методом Джонса. Попутно мы получили некоторые результаты относительно геометрических характеристик эллипса, которые достаточно трудно получить обычными геометрическими методами.
Пример 4
Эллиптически поляризованный свет пропускают через четвертьволновую пластинку, а затем через поляризатор. Свет полностью гасится, когда быстрая ось пластинки и плоскость пропускания поляризатора образуют с горизонталью углы 30 и 60° соответственно. Углы отсчитываются в одном и том же направлении. Найти ориентацию эллипса и отношение его осей.
