Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
181
останутся неизменными, однако знаки у будут обращены. Таким образом, имеем
м-га-г: пи кьга-г: ж?,]-
Вспоминая, что с помощью инверсии исходной матрицы можно написать следующее соотношение:
Г У\ 1 _ Г D0 ^0 1 Г #2 "1
L У1J L — С0 А0 \lv2}’
мы объединим все эти три уравнения и получим, наконец, новое соотношение, связывающее вход и выход новой системы:
и-г; :кд -л-; жь
_Г-^о Во]Г-1 °1Г<1_
"L-Co А0\[ 0
_Г0О В0ЛТу[Л
“К
Это выражение дает матрицу преобразования лучей для оптической системы, развернутой на 180°, так что порядок расположения всех линзовых поверхностей и оптических промежутков, которые проходит свет, обращен. Такая матрица очень похожа на обратную матрицу,^рднако, как и следовало ожидать, элемент Со, определяющий эквивалентную оптическую силу, остался тем же самым.
Доказательство методом математической индукции Пусть матрица М записывается в виде
М==[с ... ... Мп,
где каждая матрица М{ является унимодулярной и такой, что оба ее диагональных элемента Л,- и D,- равны друг другу. Пусть Мв соответствует «обратному» произведению матриц:
Мв = Мп ... Mt ... MiM3M2Ml.
182
Глава 3
Требуется доказать, что
Г D ВТ
*»-[с л\-
Рассмотрим цепочку матриц
MB[~J = ... Mt ... J]MtM2M3 ...
• • • > • • Afjj*
Если мы сначала вычислим произведение трех центральных матриц, то получим
*[-J IMS ITl Ж': S]-
Г Л, ВПГ-Л! -B.-J
'Ic, Z),JI с, Z),JW Г-Л| + В,С, В^-А,)!
m[cl(Dl-Al) ¦ Dj-ад J'
Но, поскольку Ai «** Du a AiDi — В,С| = 1, #та матрица приво-Г—1 01
дится к виду Г q j I, т. е. к той же центральной матрице, что
и раньше.
Продолжая эту процедуру, находим
4 о ?]*-[¦ I ?]
>ичательно получаем
ri ?]¦
и т. д., так что окончательно получаем Мв
Умножая теперь левую часть этого равенства на
-.Г-1 °1
М I ^ j J, а црэвую часть на эквивалентное выражение [j
имеем
м«[ о °]МА,‘'[ о l]“
-г; т-с п-
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
183
*1Г 1 °1
аг\1-Р2 1J'
Отсюда получаем требуемый результат:
Г D В1
в~Lc л]'
Задача 4
Для резонатора, рассмотренного в задаче 3, показать, что матрица полного прохода может быть записана также в виде
Лг
(А2г~ О
Вг
где Pz — оптическая сила выходного зеркала.
Какие значения Р2 допустимы, чтобы данный резонатор был устойчивым? Если использовать одно из этих значений, то чему будет равен радус кривизны волнового фронта пучка, испускаемого лазером в процессе генерации?
Решение
Г А вг
Мы увидим в дальнейшем, что матрица (а?—\)
L вГ~ Аг
представляет собой наиболее общую форму унимодулярной матрицы, у которой Два элемента, расположенные на главной диагонали, одинаковы. В данном случае она описывает преобразование луча, выходящего из ОП2 в направлении —г и возвращающегося в ту же опорную плоскость. Это преобразование включает совместное действие внутрирезонаторной оптической системы и левого зеркала — полнсж катадиоптрической системы. В конце § 11 гл. 2 мы-доказали, что такая матрица всегда имеет одинаковые матричные элементы А и D.
Для того чтобы подтвердить это, не обращаясь к доказательству, проведенному в § 11 гл. 2, перемножим тройную цепочку матриц, полученных в задаче 3. В результате имеем
Г Л Во] Г 1 01Г D0 Во!
lJLCo A0j
С,
о
__Г А> Я01Г D0 Вй 1___
L Со AjLCo — РА> — BqPi J
[A0D0 -f- BqCo — BoDoPi 2AoBo — Bo^*i "I
2CoDo — DoPi BqCq -f- AqDo — B0D0Pl J
Если обозначить теперь матричные элементы на главной диагонали A0D0 + В0С0 — B0D0P\ через Аг, а элемент 2АйВо — BqPi,
184
Глава S
расположенный в правом верхнем углу матрицы, через Вг, то можно получить искомую форму матрицы. (Мы опускаем здесь простую проверку унимодулярности полученной матрицы, хотя это всегда рекомендуется делать.)
Перемножая две оставшиеся матрицы, получаем матрицу полного прохода:
Для того чтобы эта матрица описывала устойчивый резонатор, ее след А + D должен иметь значения в интервале 2 -----2.
Записывая это условие в виде 2 > (2Ar— BfP2) > —2, мы находим, что Рг должно изменяться в пределах от 2(ЛГ + 1 )/Вг до 2(Аг-\)/Вг.
Если, например, мы имеем наиболее простой тип резонатора, который состоит только из плоского зеркала, расположенного на приведенном расстоянии Т, то Ат = 1, Br = 2Т и Рг должно находиться в интервале 2/Т ч- 0. Другими словами, выходное зеркало может быть вогнутым, но не выпуклым, и его радиус кривизны должен быть меньше, чем Т (в случае г2—Т имеем резонатор с полусферическим зеркалом).
Теперь мы обратимся к рассмотрению более общего типа резонатора. Если условие устойчивости выполняется, то радиус кривизны гауссова пучка, излучаемого через выходное зеркало резонатора, когда лазер работает в режиме основной моды, дается выражением (см. § 7 настоящей главы)
п 2 В 2 Вг 2
D-А — Аг-(Аг-ВгР2) =='РГ==Г2
(радиус кривизны выходного зеркала). Иначе говоря, с точки эрения физики явления генерируется такая волновая мода, в которой фаза на выходном зеркале постоянна.
Для любой системы с линейными резонаторами, работающими в устойчивом режиме, это условие постоянной фазы удовлетворяется на обоих торцевых зеркалах, и внутри резонатора во всем пространстве образуется четкая картина стоячих волн. В неустойчивом режиме генерации, когда часть энергии покидает резонатор в радиальном направлении, данное условие не
