Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
174
Глава 3
| 10. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ЗАДАЧИ
Задача 1
Дана герметически изолированная оптическая система. Требуется найти элементы матрицы преобразования лучей!
""“[с, 5]-
Единственное изменение, которое вы можете сделать, »то добавить к системе одну или две тонкие оптические линзы с известными оптическими силами Р\ и Р2- Эти линзы можно располагать как на входе, так и на выходе системы. Единственными устройствами для проведения измерений являются удаленный источник с заданным угловым размером и катетометр. Они позволяют измерять эквивалентное фокусное расстояние f ** —1/С для каждой из четырех возможных комбинаций.
Показать, что по четырем измеренным значениям С: С0, Си Сц и С и можно записать решение для искомой матрицы в виде
[Ср — Са Си + С»-*- Ci — Са
~~Pi PiPt
Са Cq —Ci
Р,
Решение
В том случае, когда к системе добавлены обе линзы, модифицированная матрица преобразования лучей, очевидно, принимает вид
?1*1_Г 1 о-1ГЛо BoiT 1 от Lcl2 DiJ L—Pt lJLco ij =
Г 1 01 Г A, - АЛ Bo]
“I -P, lJLCo-ад D0 J*
__Г Ao-BoPi B0 1
” L -Pt (Д> - BoPi) + (Co - ZV»,) - P2Bo + D0 J •
Следовательно, когда установлены обе линзы, измеренное значение параметра С дается выражением
C12 = BqP \Pi — DqP 1 AqPу Cq.
Если была установлена только одна передняя линза, то мы дол* жны положить Р2 =*= 0. Тогда получаем
Cj *= — DqP\ + Со.
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
175
Если же установить лишь одну заднюю линзу, то следует положить Л = 0, и тогда мы имеем
С% = — AqP2 -f- Co.
Таким образом, требуемые решения записываются в виде я Cg — С2 n Ср д С|г Ч~ Ср С, — Cj
г\ ^-*0 ^-*1 .. г) , чатч — ui — <^2
Оо—р и =---------рГр;---
В экспериментальном методе, который мы обсудили выше, необходимо использовать всего лишь две вспомогательные линзы. С другой стороны, если в распоряжении имеется несколько тонких линз, то, заменяя их друг другом, можно осуществить целую серию измерений параметра С в зависимости от различных оптических сил Pi и Р* Поскольку в любом случае С = = B0PiP2 — D0Pi — А0Р2 + Со, то полную матрицу системы можно записать через частные производные следующим образом:
- дС д2С
ГА, Яо1 Lc0 D0 J
дР2 dPi дР2 г -дС
L° ~дРГ
(Почти сто лет назад этот результат получил, правда в несколько иной форме, Л. Пендлбери и привел его в своей книге «Линзы и линзовые системы в гауссовом приближении»1).
Задача 2
Рассмотрим два связанных сферических волновых фронта и соответствующие им пучки лучей, исходящие из двух отдельных изображений точек 0 и 0', расположенных на оси системы. Пусть крайние лучи в этих двух пучках характеризуются в заданной
. Г у 1 Г у' I
опорной плоскости лучевыми векторами I у I и I у, I.
Требуется показать, что в плоскости, в которой эти два крайних луча пересекутся (площадь, освещаемая при этом обоими пучками, будет одинакова), разность стрел прогиба волновых
\У У Л
фронтов равна половине определителя матрицы! у у, I. Показать также, что, если лучевой вектор одного крайнего
\уЛ „ Г-]
луча I у J заменить на соответствующий вектор ^ распространяющегося в направлении зеркального отображения
*) Pendlebury L., Lenses and Systems of Lenses Treated after the Manner of Gauss, Deighton and Bell, Cambridge, 1884, pp. 53, 91.
луча,
176
Глава-3
Плоскость
первого луча относительно оптической оси, то можно найти другую плоскость, в которой площади, освещаемые обоими пучками, будут одинаковы. Вычислить разность стрел прогибов волнового фронта в этой второй плоскости пересечения лучей й дать физическое объяснение того, почему зиак этой разности меняется на противоположный.
Решение
а) На фиг. 3.20, а показан вектор ? ^ J луча, выходящего
Г у' Л
из точки О, и второй вектор I у, I луча* выходящего из точки
О'. Чтобы найти плоскость, в которой эти два луча пересекаются, будем искать fT-матрицу, которая, будучи умножена на лучевые векторы первого и второго лучей, а именно
[i Ш ¦ К Ш
дает два лучевых вектора с одинаковыми значениями у.
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
177
Иными словами, потребуем, чтобы
/Очевидно, величина Г будет конечной, только если V Ф V'.) В плоскости пересечения лучей, расположенной на расстоянии Г справа от заданной опорной плоскости, частное значение у определяется выражением
следовательно, два лучевых вектора в плоскости пересечения лучей записываются в виде
Поскольку параметры V различны, то два сферических волновых фронта, связанные с этими двумя лучевыми векторами, должны иметь различные радиусы кривизны и различные прогибы. В § 2 настоящей главы было показано, что прогиб волнового фронта равен половине произведения значений у и V. Следовательно, для разности прогибов можно написать следующее выражение:
S' — S = Прогиб О'-волны — Прогиб О-волны =
Мы увидим, что именно вторая волна, исходящая из точки О', имеет большую расходимость и больший прогиб волнового фронта. Следовательно, поскольку V' > V, то определитель должен быть положительным (относительно любой опорной плоскости).
б) На фиг. 3.20, б показан случай, когда векторj заменен
