Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
— iXjnw2, так что
Эта формула показывает, что (за исключением случая, когда X2 = n2anlw\) радиус пучка колеблется между двумя экстремальными значениями: одно из них существует npHsin(ocz) = =* 0 и его значение в точности равно w0, а другое при sin2(ocz)=-= 1. В последнем случае w (z) = wQ (XjnanQwf) = (Я,/яап0ау0).
Если яап0ш2 > X, то второе экстремальное значение соответствует перетяжке пучка (как показано на фиг. 3.19, о). Если же тащи* < X, то это значение является максимальным (фиг. 3.19,6). Наконец, если яап0до2 = А,, то коэффициент при sin2(ocz) обращается в нуль и радиус пучка остается постоянным, равным своему первоначальному значению, на любом расстоянии z (фиг. 3.19, в). Очевидно, в этом случае входной пучок в точности согласован с основной гауссовой модой такой системы с линзоподобным распределением показателя преломления. Радиус пучка этой фундаментальной моды дается выражением wf — (Х/папо)'1’, а соответствующее значение параметра q на входе равно q0 — — inwf/X — — i/an0.
Конечно, можно было бы получить это выражение для параметра q непосредственно, вычисляя отношение компонент собственных векторов матрицы M{z), а именно
Следует заметить, что, даже если входной пучок не согласован с основной модой, произведение максимального и минимального диаметров пучка в процессе колебаний всегда остается постоянным и равным
D _____ elaz — cos (az)
— aп0 sin (az)
(2 w0) (2X/nanoWQ) = iX/nan® = (2 wt)2 = 1,27 {XjanQ).
172
Глава 3
п.1~Гп=п0(1-{аг(хг+!/2))
U)0 - Zujf
шг-(к/яапд\^г
а
I
I
w0 - wf {пучок на входе z=0 co&nacoecut правильно)
1
Л
Фиг. 3.19
Последнее выражение находится в полном согласии с выражением, вычисленным раньше для однородного пучка по формуле Эйри. Однако это согласие до некоторой степени случайно, поскольку при определении диаметра пучка использовались различные критерии.
Рассматриваемая нами тема весьма многогранна. Например, в системах газовых линз коэффициент а часто не является постоянной величиной, а медленно меняется в направлении распространения пучка. Существуют также системы, в которых коэффициент а представляет собой чисто мнимую величину. В этом случае среда ведет себя приблизительно так же, как и неустойчивый резонатор бегущей волны. Если ввести величину а m 1а, то распределение показателя преломления запишется в виде
n(z) = /io(l + ^ aV),
а матрица, описывающая распространение пучка в среде, дается выражением
Г ch аг -sh-—1 Af(z) = an« .
L — atiQshaz chaz J
«Отрицательное» линзоподобное распределение показателя преломления такого типа можно создать в среде (правда, на от-
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
173
носительно больших временных масштабах) излучением лазера непрерывного действия. Если пучок переносит энергию порядка нескольких килоджоулей, то нагревание среды вследствие остаточного поглощения стремится уменьшить ее показатель преломления в приосевой области. Этот эффект, обратный эффекту самофокусировки, обычно называют «тепловой линзой». Для среды с заданным коэффициентом поглощения начальное увеличение температуры зависит не только от интенсивности и времени действия пучка, но также и от его радиуса; причем если рассматривается распространение пучка в атмосфере, то необходимо учитывать еще целый ряд сложных эффектов, вызываемых ветром, турбулентностью и конвекцией.
Как следует из последнего замечания, вряд ли можно ожидать, что матрица преобразования лучей позволит решить все проблемы, возникающие при исследовании сред с непрерывным распределением показателя преломления. Матричные методы применимы только в том случае, когда распределение является линзоподобным, а геометрия пучка близка к гауссовой.
По-видимому, есть еще одна причина, в связи с которой стоило рассмотреть линзоподобную среду в настоящей главе. Мы полагаем, что это очень поучительный пример, который может вдохновить студента на поиски аналогий, существующих между оптикой и другими разделами физики. В данном случае мы имеем в виду аналогию с теорией электрических цепей.
Переход, который мы делали, от системы, содержащей конечное число линз, к системе с непрерывным распределением показателя преломления, во многом аналогичен переходу от многозвенного фильтра (который состоит из индуктивностей и емкостей) к непрерывной передающей линии. В более общем смысле собственное значение, которое позволяет оптику установить, является ли резонатор устойчивым или нет, в теории связи определяет фазовый сдвиг или затухание электрического сигнала; отношение компонент собственного вектора, определяющее в оптике значения R или q автомодельной волновой картины, в теории связи аналогично отношению напряжение/ток — повторному импедансу. С момента изобретения лазера поиски таких аналогий часто оказывались весьма плодотворными. Однако необходимо всегда тщательно анализировать как физическое различие аналогий, так и их подобие!
В последнем параграфе настоящей главы мы рассмотрим несколько задач; они позволят нам резюмировать основные результаты, изложенные выше. В конце книги помещен список литературы для дальнейшего изучения проблем, связанных с матрицами преобразования лучей.
