Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Г cos pQ Г cos at 1
М(/) = к 1 = 1 “«о I
L —/Csinp0 cosp0J L —anosina^ cosa/J
Прежде чем обсуждать оптические свойства, вытекающие из полученного решения, покажем, что при использовании в качестве исходной инфинитезимальной матрицы другой альтернативной формы мы получим такую же матрицу М((),
Глава 3
Случай 8
В этом случае наша инфинитезимальная матрица записывается в виде произведения трех сомножителей:
><ч: я: ть
Г1 -±(a(,zY -?(l -(4.ate)*)l
[_ — гца? flz 1 — у (a fiz)2 J
Используя те же параметры 0 и К, что и прежде, перепишем эту матрицу в виде
Л1(бг) Г 1 — 2 sin2 (0/2) (1 — sin2 (0/2)) ^
L — 2/C sin (0/2) 1 — 2 sin2 (0/2) J
sin fl cos (9/2)
Г cos 0 iEJlS'pSfl'l L — 2/C sin (0/2) cos 0 -I
2/C sin (0/2)
(Следует заметить, что диагональные элементы этой матрицы такие же, как и в предыдущем случае 1; определителе матрицы также равен единице, а собственные значения имеют вид в**0.) Снова используя теорему Сильвестра, получаем
М(р6г)=*Мр =
[sin р8 cos 8+cos р8 sin 8— sin р8 cos 8 sin 8 cos (8/2) sin p8 -¦
sin 8 К sin 0 I
2/C sin (8/2) sin p8 cos8 sin p8—sin p8cos8 + cosp8 sin8 Iя
sin 8 ein6 J '
I
cos p0 cos (0/2) iiS?®
cosp0
cos (8/2)
В пределе 0-+O опять-таки cos (0/2) = 1. Таким Образом, матрица M(t), как и в предыдущем случае, принимает окончательный вид:
Г cos р0 ^-1 Г COSC*
M(f)= ' * * 1 = 1 «оа I
L —/Cslnp0 cosp0J L —no«sincrf coso/J
Начиная с этого момента мы будем использовать данную матрицу M(t) для описания оптических. характеристик среды
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
169
любой протяженности как сколь угодно большой, так и бесконечно малой. За исключением множителя ап0, эта матрица в точности совпадает с матрицей поворота и обладает тем же свойством, а именно, что M(ti)M(t2) -- M(t2)M(t{) = M(ti -f t2). С помощью теоремы Сильвестра нетрудно установить, что {Л4(^)}ЛГ = M(Nt); последнее равенство справедливо даже в том случае, когда N не является целым числом.
Беглый взгляд на эту матрицу показывает, что она обладает свойством периодичности: через каждый интервал t — 2я/а она обращается в единичную матрицу. Посередине такого интервала она напоминает матрицу афокальной системы с увеличением — 1 и на интервале t = я/2сс она имеет ту же форму, что и матрица линзы с оптической силой К — п0а, записанная для двух фокальных плоскостей. Используя эту матрицу, рассмотрим теперь более детально путь геометрооптического луча (или распространение гауссова пучка) в такой среде.
9.1. Распространение параксиальных лучей
Пусть входная опорная плоскость ОП0 расположена в точке г = 0, а выходная опорная плоскость 0П2 может свободно перемещаться вдоль оси z на любое удобное нам расстояние ж.
Для любого заданного входного луча ? у J можно записать матрицу в ОПг
Если, например, входной луч распространяется параллельно оси на высоте г/о и, следовательно, Vo = 0, то
(очевидно, «(г) = dy(z)/dz).
Следует заметить, что на тех расстояниях г, на которых отрезок я/2а укладывается точно нечетное число раз, «/-координата этого луча обращается в нуль независимо от высоты г/о. которую луч имел во входной опорной плоскости. На расстояниях же z, на которых отрезок я/2а укладывается точно четное число раз, в нуль обращается параметр луча v и луч вновь распространяется параллельно оптической оси.
Для величины v (z) = V (г)/«о имеем
v (z) = — г/о a sin (az)
170
Глава Я
У
п‘13пя z<0; n-n0{h,/zaz(xz+yt'fjdn« г>0
Фиг. 3.18. Геометрический путь пучка (углы для наглядности показаны в увеличенном масштабе).
Следовательно, в соответствии с геометрической моделью входной пучок параллельных лучей периодически фокусируется в точку, а затем снова расходится на интервалах Az = п/а. Этот случай представлен на фиг. 3.18.
Однако из-за дифракции фокусировка пучка в точках пересечения оси никогда не бывает совершенной. Если ут — максимальный радиус пучка в точке z = 0, то максимальное значение
V в «фокальной области» z = я/2а будет равно Vm = п0аущ\ как было показано в § 3, следует ожидать, что диаметр пучка в этой точке йо крайней мере равен 0,61 Я/Ут=0,61X/(П№Ут)• Следовательно, произведение диаметро» пучка в точках г = /йя/а и z — l)n/2a приближенно равно (2у„) (0,6U)/(n0aym),
или 1,22Х/п0а. Это существенное ограничение, а лучи, показанные на фиг. 3.18, представляют собой геометрическую идеализацию реальной картины.
9.2. Распространение гауссова, пучка - -
Чтобы проследить за распространением гауссова пучка в линзоподобной среде, нам нужно лншь применить правило ABCD, причем коэффициенты А, В, С и D представляют собой известные функции координаты г, которые были получены выше. Таким образом, если <7о — комплексный параметр входного пучка в плоскости г = 0, то
_ /_л . A(z)qt + B(z)
4W= c\zUl + D(z) ¦
Точно так же, если нас интересует только зависимость радиуса пятна w от расстояния, которое прошел пучок в среде, то
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
171
можно использовать формулу преобразования радиуса пятна пучка:
Ш-И+^Г-
В том случае, когда перетяжка входного пучка расположена в точке z = 0, мы сразу можем написать до(0) — w0 и 1/<70 =
