Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
165
чину вызывает эффект самофокусировки либо внутри, либо вне лазерного резонатора. Эти эффекты приводят к нежелательному пробою или разрушению прозрачной диэлектрической среды, а также к искажению геометрии лазерного пучка ').
Для того чтобы описать такое распределение показателя преломления, рассмотрим следующее выражение:
п(х, у, z) = rto(l — J a2r2) =>ra0[l — yа2 (х2 + г/2)].
Здесь по — значение показателя преломления п на оптической оси, а множитель а можно рассматривать как величину, обратно пропорциональную характерному масштабу, на котором показатель преломления п уменьшается в два раза по сравнению с его значением на оси (в этом случае характерный размер вводится гипотетически, поскольку практически рассматривается лишь параксиальная область, в которой абсолютное изменение показателя преломления мало). (В реальных системах существует только приосевая область такого параболического распределения показателя преломлейия, причем даже на самом краю системы величина а2г2, как правило, очень мала — меньше чем 0,01.)
Конечно, показатель преломления может как увеличиваться, так и уменьшаться пропорционально квадрату расстояния от оси; в общем случае нам необходимо предполагать, что параметр а может быть мнимым. (Квадратичный закон изменения поглощения или усиления в среде также можно описать, используя комплексное представление параметра а.)
Чтобы найти матрицу преобразования лучей, которая описывает оптические свойства такого распределения, рассмотрим бесконечно тонкий слой среды, заключенной между плоскостями z = z0 и г = z0 + 6г. Такой слой можно рассматривать не только как оптический промежуток с приведенной толщиной 8г/п0, но также как участок, который вносит неоднородную задержку, определяемую следующим образом:
W {х, у) = [п (х, у) —по] 6г = --~ п0а2 (х2 + у2) 6г.
Если сравнить эту неоднородную задержку с задержкой, вносимой очень слабой тонкой линзой с оптической силой Р, а именно —Р(х2 + г/2)/2, то мы обнаружим, что оптическая сила эк-
*) Для, световых пучков существует понятие критической мощности, т. е. мощности, при приближении к которой эффекты самофокусировки начинают играть важную роль. Для гауссовых пучков Ркр = спо/2п2й2, где с — скорость света, «о — показатель преломления среды, пг — нелинейная добавка к показателю преломления, a k — волновое число. Более подробно явление самофокусировки рассмотрено, в частности, в обзоре: В. Н. Луговой, А. М. Прохоров, УФН, т. III, вып. 2, 203 (1973). — Прим. ред.
166
Глава 8
вивалентной бесконечно тонкой линзы должна определяться выражением Яэкв = «оа2вг.
Следовательно, для того чтобы описать оптические свойства такого тонкого слоя, мы должны использовать две матрицы:
<T(te) = [J Т] " *<вг>-[-яЛ2 “]•
Очевидно, существует четыре различных способа, с помощью которых можно записать пронзведние этих двух матриц. Например,
1) M{bz) = T{bz)9HjSz)
и
2) M{bz) = 9t{bz)T{bz).
Кроме того, мы можем представить одну из этих матриц в виде двух матриц и умножить вторую матрицу на эти матрицы слева и справа соответственно. Таким образом, получим
3) м (бг) = Г (бг/2) Я (б z) Т{Ьф)
и
4) М (bz) = $ (бг/2) T(bz) 31 (бг/2).
Как мы увидим ниже, все эти четыре альтернативы дают один и тот же окончательный результат. Здесь мы рассмотрим лишь первую и третью комбинации матриц (случаи 1 и 3).
Случай 1 Мы имеем
L 0 1 J L — nocr bz 1 J L — «o“ bz 1 J
Используем следующие подстановки:
К = wio, 0 = 2 arcsin (а бг/2), или а bz = 2 sin (0/2). Следовательно,
Г 2cos0-l (2sin(0/2))//С]
( ^ L — 2/С sin (0/2) 1 J
Теперь проверим, равен ли определитель вгой матрицы единице, и отметим, что ее след равен 2 сое 0, т. в. ев собственные значения записываются в виде e±ib.
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
167
Построив эту «бесконечно малую», или «инфинитезималь-ную», матрицу M(bz), возведем ее теперь в р-ю степень, где р — очень большое число. При этом мы получим матрицу преобразования лучей для слоя конечной толщины t = рбг. Для этой цели используем теорему Сильвестра, рассмотренную нами в
§ 5 настоящей главы. Если М = ? ^ ^ j — унимодулярная
матрица с собственными значениями е±,е, то
МР:
sin (р + 1) 6 — D sin рО sin 0 С sin pQ sin 0
В sin pQ sin 0 D sin p8 — sin (p
sin 0
-Do]
Подставляя вместо матричных элементов В, С и D найденные нами выражения, получаем
М (0 = [М (6z)]p =
Г sin р8 cos 8 + cos p8 sin 0 — sin p8 sin 0
— 2К sin (9/2) sin p8 sin 0
2 sin p0 sin (0/2)
К sin 0
sin pQ — sin p8 cos 8 + cos p9 sin 0 sin 8
n sin p0 (1 — cos 0) C0SPQ-----------sinO---------^
— К sin p0 cos (0/2)
sin p0
COS pQ
К cos (0/2)
, sin рв (1 — cos0) sin 0
Если теперь предположить, что 6z —> 0, а р—юо таким образом, что их произведение рбг = t остается постоянным, то параметр 0 также будет стремиться к нулю, но произведение pQ = at останется неизменным. Следовательно, в полученной выше матрице параметр (1 — cos 0) /sin 0 пренебрежимо мал, а cos (0/2) -> 1. Таким образом, окончательно имеем
