Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Г 0 П Г 0 mfl п
1/f oj И l-1/mf О J ‘ ри ЭТ0М В системе фактически осуществляется двойное преобразование Фурье, на первой стадии которого перетяжка исходного пучка, расположенная в
*} Или линзовый волновод. — Прим. ред.
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
Перетянет входящего пучка
Положение
промежуточной
Перетягкка выходящего пучка
рокстьная система/^ ым увеличениям *2
ОП,
0 Zf ' 0 f
-J/tf 0 -t/f 0
ОП»
Фиг. 3.16
первой фокальной плоскости, отображается в промежуточную фокальную плоскость, а затем в следующую фокальную плоскость, расположенную на выходе системы (фиг. 3.16). (Мы видим из фигуры, что, хотя радиус перетяжки уменьшился вдвое, расходимость пучка увеличилась в два раза.)
До сих пор в этом разделе мы рассматривали случаи, когда параметры q входного и выходного пучков известны; и правило ABCD позволяет нам определить, какого типа должны быть оптические системы, чтобы осуществить заданное преобразование параметров пучка. Обсудим теперь две задачи, которые несколько отличатся от предыдущей, а именно будем считать, что система, используемая для преобразования пучка, задана, но параметры q входного и выходного пучков определены неполностью.
8.2. Получение максимально узкой перетяжки пучка
Пусть имеются: а) лазер, излучающий гауссов пучок с радиусом перетяжки woi и соответствующим конфокальным параметром пучка 201 = я до2,/Я, и б) оптическая система, матрица преобразования которой от ОП, до ОП2 записывается в виде
г а в-1
I С D I ' Оптическая система установлена на подвижном рейтере, так что расстояние от нее до лазера можно свободно менять. Каков минимальный радиус пятна w02, измеряемый в перетяжке пучка, выходящего из ОП2, и каким образом размер этого пятна зависит от расстояния Z\ между перетяжкой входного пучка и положением ОП]?
Решение
Очевидно, в этом случае параметр q входного пучка дается выражением q\ = Z\ — iz0ь а параметр q выходного пучка за-
160
Глава 3
писывается в виде
Адх+В (Лу!+В)(Су; + Р)
Ч* = С<7, + D ~ (Cqx + D) (Cq\ + D)
(здесь * обозначена комплексно сопряженная величина). Оставляя только мнимую часть этого выражения, мы получаем
т„ \ ,-l — Mz0i (Czi + D) + (Azi + В) ICzoi
1тЫ = -.^-'---------------]c,l + DfTcX---------”
— tzpi [ACz{ + AD — ACzi — BC] _____— iz01_____
(Cz, + Df + C2z2m ~ (Cz, + Of + C24x
(выражение в квадратных скобках равно единице).
Если теперь заменить zQi на nw^/X, a z02 на nw^/X, то окончательный результат имеет вид
®§i
Ш°2 (Czt + Df + cWm/x2 ‘
В том случае, когда наша оптическая система состоит из одной линзы с фокусным расстоянием /, причем ОП] и ОП2 расположены в фокальных плоскостях, матрица преобразования луча записывается в виде
ГА В-I Г 0 П .
L С D J L-1/f о J •
и, следовательно,
Wo2~ zf + nVJl2'
Для получения минимального радиуса перетяжки пучка обычно выбирают линзу с коротким фокусным расстоянием, а также, как это ни парадоксально, отодвигают линзу от лазера на такое расстояние zu которое значительно больше конфокального параметра пучка z01 = nw2xl%. Отдвигая линзу от лазера, мы увеличиваем радиус пятна пучка на линзе, и до тех пор, пока апертура линзы не переполняется, мы получаем более острую фокусировку пучка и более высокую концентрацию энергии в фокусе линзы. В пределе радиус перетяжки пучка определяется соответствующей числовой апертурой (в данном случае Я/яДОог)'1)-
*) Предельное минимальное значение радиуса перетяжки пучка после идеальной линзы, имеющей диаметр D и фокусное расстояние /, легко найти, пользуясь неравенство^ Гейзенберга, или принципом неопределенности, который в этом случае имеет внд w0&k ^ 1 или Я/яо»о ^ D/f, откуда w0 ^ ^ fX/nD. — Прим. перев.
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
161
Общее выражение, только что полученное нами, можно рассматривать как формулу преобразования радиусов перетяжки пучка:
Это\выражение почти совпадает с формулой преобразования радиуса пятна пучка, которое мы получили в § 7 настоящей главы, приравнивая только мнимые части выражения для l/q. В обращенном виде формула преобразования радиуса пятна пучка записывается в виде
8.3. Нахождение параметров гауссова пучка по двум заданным радиусам кривизны
Гауссов пучок распространяется через оптический промежуток шириной d между ОП1 и ОПг. Все что нам известно, — это радиус кривизны Ri волнового фронта в ОП1 и радиус кривизны R2 волнового фронта в ОП2. Требуется отыскать остальные параметры пучка, в частности, размер и положение перетяжки, а также радиусы пятен пучка в ОП[ и ОП2.
Решение
Полагая q: = г, — iz0, из правила ABCD имеем = <7i + + d = (Zi + d) — izQ. Если оба эти выражения обратить, то получим следующие формулы:
Оставляя в этих выражениях только действительные части, из (3.2) получаем
*01 (CZ]+Z>)2+C24 | CQi + Df '
1 __ 1 _ 2l + iZg _ _1____|_ iK
?1 Z1 ~ iz0 Z‘l + 4 #1
И
J_____________j_______ (2i + d) + iZg _ 1____I IK
q2 (2] + rf) — (Z0 (z, + df + z\ R2 яю| ’
(3.3)
(3.4)
6 Зак. 774
162
Глава 3
откуда находим
Чтобы получить формулу для Zq, подставим выражение (3.5) для Zi в уравнение (3.4) и после небольших алгебраических выкладок найдем
