Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Умножая обе части этого уравнения на знаменатель izot/f— gi, который не равен нулю, и выделяя мнимую и действительную части, окончательно получаем
Поскольку как z01, так и Z02 — положительные величины, то из второго уравнения следует, что gi и g2 должны иметь один и тот же знак; поэтому произведение g\g2 также положительно. Из первого уравнения имеем, что когда перетяжка пучка переходит таким образом из ОП1 в ОПг, то среднегеометрическое величин z0i и Z02 не может никогда превышать фокусного расстояния употребляемой линзы. В случае симметричной оптической системы, для которой gx = g2 = g, справедливо следующее равенство: Zoi = Z02 = ze = /(1 — g2) '/».
Мы уже показали, что если радиус перетяжки гауссова пучка сделать очень небольшим, то расходимость пучка становится
— (~ ga) (- tZpi) + f (1 - gig2) **02— (—!//) (— teb.) —
_ igiZpi + f (1 — gi&)
izoi // — gi
и
Z02Z01 = f (1 — gigl)
gl%02 gzZoi.
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
157
значительной, причем угол расходимости близок к углу асимптотической расходимости k/nwo, и пучок становится похожим на семейство сферических волновых поверхностей, расходящихся из точки, в которой расположена перетяжка пучка. По мере приближения к этому геометрооптическому пределу как 2о1,так и г02 становятся очень малыми, и в соответствии с первым уравнением член 1 — Я1Я2 стремится к нулю. Следовательно, g2 приближается к величине, обратной g\, в полном соответствии с уравнением Ньютона для отрезков, измеряемых оТ точек расположения классического объекта и изображения до первого и второго фокусов линзы соответственно.
Второе уравнение можно переписать, представив его через отношение радиусов перетяжек:
w02 __ ZQ2 _ 82
W01 201 S)
В геометрооптическом пределе, т. е. при условии, что g2 = = 1/gi, величину g2 можно рассматривать как поперечное увеличение wca/wou которое имеет изображение области перетяжки.
Однако, за исключением этого предельного случая, нет оснований рассматривать процесс преобразования пучка как обычный процесс получения оптического изображения. Рассмотрим, например, простой случай, когда перетяжка входящего пучка расположена в первой фокальной плоскости; следовательно, g\ = 0. Можно было бы обкидать, что «изображение перетяжки пучка» появится в бесконечно удаленной точке пространства изображений. На самом деле, однако, как следует из второго уравнения, величина g2 тоже обращается в нуль, так что перетяжка выходящего пучка располагается во второй фокальной плоскости линзы. В этом случае конфокальные параметры
пучка связаны соотношением z0iz02 = f2-
(Говоря на понятном для оптика языке, волна во второй фокальной плоскости представляет собой дальнюю зону илифраун-гоферову дифракционную картину входного пучка; обычно такая картина наблюдалась бы на бесконечности, но линза переносит это изображение во вторую фокальную плоскость. С математической точки зрения распределения амплитуд в этих двух плоскостях всегда связаны между собой преобразованием Фурье, и поскольку первая функция представляет собой действительную гауссову функцию, у которой отсутствует квадратичный сдвиг фазы, то вторая функция также должна быть действительной.)
Если конфокальный параметр входного пучка z0i равен фокусному расстоянию /, то z02 также равен f и мы имеем систему, в которой геометрия пучка воспроизводится. Такую систему мо-
158
Глава 8
~1 ~^:= Ф"~ »
г*f=z0 -и- - Zf-Zz0 — ^~--Zf^Zzg- - Jb-—2f.2z0 — ~U-f-z0 «!
Фиг. 3.15. Передающая оптическая система (линзовый волновод) с четырьмя последовательно расположенными элементами.
жно использовать в качестве передающей оптической системы •), как показано на фиг. 3.15. Если в этой системе устранить поглощение и потери на отражение, то ее можно использовать в качестве системы оптической связи между какими-либо двумя точками. Для лазерного пучка с длиной волны 800 нм, передаваемого с минимальным размером перетяжки 10 мм, конфокальный параметр пучка равен (я-10_4)/(8-10-7) « 400 м. Передающая система, таким образом, должна состоять из очень слабых линз (с оптической силой 1/400 диоптрий), каждая диаметром ~ 100 мм, расположенных (вдоль прямой линии!) с интервалами 800 м.
Кроме того, существует еще один случай, достаточно просто описываемый матричным методом, в котором перетяжка выходного пучка точно совпадает с геометрическим изображением перетяжки входного пучка. '
Как мы знаем, в этом случае параметры q\ и должны быть мнимыми, и для системы, осуществляющей отображение одной опорной плоскости иа другую, матрица преобразования лучей
Г m 0 1
записывается в виде 1/mJ ’ ГДв Ш — попеРечиое Уве‘
личение. Используя затем правило ABCD, получаем
_ • — mizpi + о
^ izoi/f + 1/m •
Сразу очевидно, что это уравнение справедливо только в том случае, если знаменатель является действительной величиной; а поскольку Zoi представляет собой с необходимостью действительное положительное число, то фокусное расстояние системы f должно быть бесконечно велико. Следовательно, мы имеем афокальную систему, обладающую этим специальным свойством. При желании можно записать матрицу такой системы в виде произведения двух матриц «фокальных плоскостей»:
