Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
На фиг. 3.5 показано схематически устройство типичного лазерного резонатора. Усиливающий стержень лазера имеет длину L и помещается между двумя отражающими зеркалами, расстояние между которыми равно Ъ. Поскольку лазерный стержень эквивалентен плоскопараллельной пластине, матрица перемещения луча, соответствующая оптическому промежутку между двумя зеркалами резонатора, содержит приведенную длину
г Ь — L , L L (п— 1) L
Г==—у— +Т=ь------------------П-*
где п — показатель преломления активной среды лазера.
114
Глава 3
ОП
ь
Выход
излучения
Фиг. 3.5. Схема лазерного резонатора.
3(— полностью отражающее зеркало; 3»—частично отражающее зеркало.
Прежде чем выписывать полную матрицу преобразования лучей, описывающую эту систему, остановимся кратко на назначении частично прозрачного зеркала, расположенного в правой части системы. Обычно это зеркало называют «выходным зеркалом», поскольку оно позволяет выводить нужную часть энергии, накопленной .в резонаторе, и таким образом использовать эту энергию для различных целей. .Выбор коэффициента отражения выходного зеркала вполне напоминает проблему, с которой встречаются хлеборобы, когда необходимо сохранить часть зерна для того, чтобы получить урожай в следующем году. При очень высоком коэффициенте усиления, которым, например, обладает неодимовый лазер, иногда бывает достаточно, чтобы это зеркало отражало всего лишь 10% падающей энергии, в то время как остальные 90% покидают лазерный резонатор. Напротив, в гелий-неоновых лазерах коэффициент усиления очень мал, и из резонатора удается вывести не более чем 1% энергии. По этой причине в таких лазерах возбудить генерацию удается, только применяя многослойные диэлектрические зеркала с высокими коэффициентами отражения и поверхностью очень высокой чистоты.
Поскольку мы будем интересоваться конфигурацией световых волн, излучаемых через выходное зеркало лазера, удобно расположить ОП1 на поверхности частично отражающего зер-
ОП1 в положительном направлении оси г после выхода из усилителя. Та часть энергии луча, которая отражается от выходного зеркала, после отражения распространяется в обратном направлении, проходит через усилитель к левому зеркалу системы, затем возвращается и вновь проходит через усилитель к вйход-ному зеркалу.
кала
который паДаётна
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
Пб
I Если теперь расположить вторую опорную плоскость ОПг та-I ким образом, что она будет совпадать с ОПь то можно записать I полную матрицу преобразования лучей М, связывающую эту \ «пару» опорных плоскостей и представляющую «полный про-I ход» через резонатор.
Обозначая оптические силы двух торцевых зеркал как Pi и
I Р2, мы можем записать, что
Проверив теперь равенство определителя этой матрицы единице, мы фактически имеем достаточно информации для расчета одного прохода или многократных проходов луча через резонатор.
Для того чтобы рассчитать изменение параметров луча вследствие N последовательных полных проходов через резонатор, нужно возвести полную матрицу преобразования лучей М в N-ю степень. С этой целью используем методы диагонализации матрицы, описанные в §§ 11 и 12 гл. 1. Мы ищем преобразование, приводящее исходную матрицу к диагональному виду:
Для того чтобы найти собственные значения и Хг, рассмотрим след A -f- D матрицы М, при этом получим
Л + D = (1 - Р,Г - 2Р2Г + Р^Г2) + (1 - PiT) =
= (2 — Р\Т)(2 — Р2Г) — 2 = 4(l — (1 --0-2.
Следуя в точности процедуре, описанной в § 11 гл. 1, ищем теперь значения 0 или t, такие, что
либо А + D = 2 cos 0 = 4 cos2 (0/2) — 2,
(
1 - Р,Г - 2Р2Г + Р,Р2Г2 Т (2 - Р,Г)
-Pl-P2 + PiP2T 1-Р.Г
[М][
M — FAF~l,
где
— диагональная матрица, причем
MN = FANF~l.
тогда
Ai = e‘9, %2 = е~ю\
116
Глава 3
либо А + D «= 2 ch t = 4 ch2 (tJ2) — 2,
тогда A( = e‘, A2 = e~*;
либо еще A + D — — 2ch(—1)== — 4sh2(— i/2) —2,
тогда Aj — — e\ A2 = — 0_<.
Чтобы решить, какая из этих трех альтернатив реализуется, нам необходимо вычислить всего лишь произведение (1 — ТУпМ 1 —
— Т/г2) и установить соответственно, лежит ли величина этого произведения в интервале между 0 и 1 или она больше 1, или меньше 0.
Как было показано в § 12 гл. 1, если Х\ и А2 являются соб-
ственными значениями унимодулярнои матрицы
то отношение компонент одного собственного вектора равно (Ai — D)/C, а другого (A2 — D)/C.
В соответствии с приведенным выше рассмотрением эти отношения являются значениями y/V, или значениями R луча, распространяющегося через резонатор без изменения. Если внутри резонатора существует волно$о& фронт с такой кривизной, то он будет самовоспроизводиться. Это очень важное следствие, которое впоследствии мы будем обсуждать.
- Для тех, кто предпочитает не пользоваться методами диа-гонализации, описанными в гл. 1, заметим, что те же самые результаты можно получить, используя непосредственно правило ABCD. Если значение R луча при прохождении резонатора остается неизменным, то мы сразу получим два уравнения:
/э *= и j? d
CRx + D И
Исключая R2, находим следующее квадратное уравнение относительно Ri'.
