Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
В некоторых случаях, например при обработке оптического изображения, может потребоваться система, очень точно передающая изображение. При этом конструктору иногда нужно добиться исчезновения квадратичных членов в эйконале посредством применения афокальных изображающих систем; однако при этом должны быть также учтены эффекты аберрации третьего порядка, и поэтому производство таких линз становится довольно дорогим.
Функция эйконала, которую мы до сих пор рассматривали, вводилась по отношению к двум раздельным опорным плоскостям. Там, где это возможно, ее предпочтительно определять как функцию, симметричную относительно высоты луча в двух опорных плоскостях. В случае двумерной попер&Шой картины, т. е. при учете второй поперечной координаты (нормальной к плоскости фигуры) эйконал №(хиуих2,уг) зависит от четырех па-
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
105
раметров. Если зафиксировать положение плоскости ОП1 в точке z = 0 и ввести опорную плоскость ОПг, которая первоначально совпадает с ОПь а затем постепенно удаляется от нее в положительном направлении оси г, то можно построить более общую трехмерную функцию эйконала W(xu уи х, y,z). Для точечного источника, расположенного в точке (х\, у 1) в ОП1, волновые фронты, возбуждаемые в произвольной области пространства, представляют собой поверхности, на которых значение функции W остается постоянным: локальный градиент скалярной функции W является трехмерным мгновенным вектором, определяющим не только направление луча, в котором распространяются волны, но также и скорость изменения фазы волны с расстоянием.
В начале данного параграфа мы показали, как правило ABCD позволяет нам проследить за распространением однозначно определяемых волновых фронтов пучка лучей, в частности пучка лучей от идеального точечного источника. Тем не менее, как мы показали при исследовании эйконала, эффекты размытия, связанные с дифракцией Фраунгофера, не позволяют световой волне образовывать идеальное точечное изображение. Следовательно, вблизи фокуса очень малйе значения R, предсказываемые правилом ABCD, в действительности могут оказаться глубоко ошибочными.
В следующем параграфе мы рассмотрим более детально ограничения, в рамках которых можно определять направление светового луча. Эти ограничения важны не только для обычного некогерентного света, но также и для пространственно когерентного света, возбуждаемого внутри лазерного резонатора.
§ 3. РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА,
ЭТАНДЮ И ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Поскольку длина волны света неисчезающе мала, изображение, образуемое сходящимся пучком лучей, никогда не является точкой; это — пятно, конечный размер которого определяется дифракцией Фраунгофера. В предыдущем параграфе мы нашли, что параллельный пучок света, проходящий чбрез щель шириной 2а, фокусируется линзой с фокусным расстоянием / так, что яркость центрального пятна спадает до нуля на расстоянии от его центра, равном 0,5fk/a. В случае круглой апертуры диаметром 2а вычисление дифракционного интеграла приводит к аналогичному выражению, только вместо синуса появляется функция Бесселя второго порядка. Центральное пятно этого распределения называют диском Эйри, причем радиус, на
t
106
Глава 3
котором яркость спадает до нуля, равен 0,61/Х/а, т. е. примерно на 22% больше, чем в случае квадратной апертуры шириной 2а. Чем больше апертура, тем меньше размер изображения, разумеется, при условии, что линза идеальна и все типы аберраций отсутствуют.
Если оптическая система дает ограниченные дифракцией изображения двух точечных источников одинаковой яркости, то обычно говорят, что изображения «вполне разрешены», если центр одного из них совпадает с первым темным кольцом другого.
а) В случае правильно сконструированного телескопического объектива диаметром d расстояние между изображениями в фокальной плоскости равно 1,22fX/d, а угловое расстояние между двумя источниками 1,22xfd рад.
б) Для объектива микроскопа главная диафрагма, определяющая разрешающую силу, расположена в задней фокальной плоскости, так что, когда мы смотрим со стороны предмета, входной зрачок системы оказывается в бесконечности. Если обозначить через 0 угловой радиус этой диафрагмы, то для малых 0 наименьшее разрешаемое расстояние в плоскости предмета равно О,61А./0. В действительности величина 6 может быть довольно большой, и поэтому часто необходимо использовать более точное выражение 0,61X/sin6 или 0,61A,/nsin 0 в том случае, когда образец погружен в иммерсионную среду с показателем преломления п. Величину п sin 0 обычно называют числовой апертурой (Ч. А.) объектива микроскопа. (Эту величину можно рассматривать как максимально возможное значение V для луча, исходящего из точки предмета, расположенной на оптической оси.)
с) Для объектива фотоаппарата диаметром d, разрешение которого ограничено дифракцией и фокальным отношением f/d — F, наименьшее разрешаемое расстояние в плоскости изображения дается формулой Ду — 1.22FX. Например, линза с фокусным расстоянием F/6, освещаемая зеленым светом, полностью разрешает изображения линий или точек, отстоящих друг от друга на расстоянии 4 мкм. (Эта формула получена для светящихся объектов или для некогерентного освещения. Чтобы достигнуть такого же разрешения в случае когерентного света, может оказаться необходимым использование бокового освещения.) Однако для «вполне разрешенных» изображений характерное расстояние разрешения приближается к 8 мкм, и даже для пространственных частот, соответствующих 125 штрихам на миллиметр, расчет модуляции пе-
