Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
А В1 Г 0 f'i
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка 101
Поскольку А = D = 0, выражение эйконала записывается следующим образом:
w (уи у2) = К — (У\УЖ
где К—оптический путь между двумя фокальными точками.
Для любого заданного значения у\ этот эйконал дает линейную зависимость в выходной плоскости, — другими словами, точечный источник, смещенный от оси на расстояние у и возбуждает по другую сторону линзы плоскую волну, волновой фронт которой имеет наклон dW/dy2 = —(yi/f) рад.
Подставляя последнее выражение эйконала в уравнение дифракции, мы находим, что, поскольку квадратичные фазовые члены отсутствуют, этот случай соответствует дифракции Фраунгофера. Соотношение между А^у^,) и Az(y2) представляет собой преобразование Фурье:
А Ш = \ 4 Ы «Р [х - -у-)] =
— оо
= (iг)'/1ехр(-^) S Л10л)ехр(-2ш-1^)^,.
— оо
Если, например, на ОП1 падает плоская волна единичной амплитуды и в плоскости ОП] имеется щелевая апертура, которая пропускает только центральную часть пучка, т. е. а > у\ > >• —а, то амплитуда, возбуждаемая в ОП2 (где в приближении геометрической оптики свет фокусировался бы в точку), дается выражением
Л(й)=(тг)'4 «р {Щг) S «р (- 2»'4Ц1) =
-(т)‘*«р третв
Вследствие дифракционных эффектов световые волны в фокальной плоскости линзы дают изображение конечного размера. Распределение интенсивности /2 (г/г), которое в действительности мы будем наблюдать в изображении, записывается в виде
/, W=А> w * (у,) - ш RC./W11Г ¦
Когда г/г мало, выражение в квадратных скобках стремится к своему максимальному значению, равному единице, поскольку
102
Глава 3
Фиг. ЗЛ
Таким образом, при когерентном освещении яркость в центре изображения пропорциональна квадрату ширины щели. Это обусловлено двумя факторами: увеличение ширины щели ие только Вызывает увеличение потока энергии через линзу, но также уменьшает дифракционное размытие изображения. В следующем параграфе мы рассмотрим вопросы, связанные с разрешающей силой оптической системы, но из приведенной выше формулы для интенсивности очевидно, что яркость дифракционной Мартины Фраунгофера спадает до нуля в том случае, когда аргумент синуса становится равным ±я, т. е. когда уз = = ±(Д/2а) (фиг. 3.3).
Для этого значения уз из выражения эйконала получаем, что ширина щели (2а) в плоскости ОП1 в точности равна одной длине волны. Все возможные в пределах 2я фазы дают приблизительно равноценные вклады, и таким образом происходит полное Взаимное погашение волновых возмущений. Если мы попытаемся наглядно представить себе эту ситуацию с помощью диаграммы Аргана, то обнаружим, что для у2 = 0 в результате суммирования всех элементарных векторов получается прямая лнння; однако по мере увеличения у2 мы получим кривую, которая замкнется в исходную точку, образуя замкнутую окружность при уз = zt (fk/2a). ДлНна хорды каждой из этих кривых (учитывая, что 2а представляет собой длину, измеряемую вдоль кривой), равная результирующей амплитуде поля, дается выражением [2а sin (2nay2/fX) ]/ (2nay2/fX), а радиус кривизны — выражением fX/2ny2 (фиг. 3.4).
2.4. Оптические системы с В = 0
Если в матрице преобразования лучей В = 0, то опорные плоскости ОП1 и ОПз должы быть оптически сопряжены, т. е. существует только одно значение у2, для которого можно построить траекторию луча для данного значения у\. Таким образом, не удивительно, что функция вйконала, полученная нами,
Мнимая ось
Мнима* ось
Мнимая ось
И%чсианая Конечная
точка точна
Действительная
ось
Начальная и конечная точки, совпадают
Начальная
точка
и
Действительная
ось
Случай 1:уг=О
Случай 2: уг=(0)
91
\Конечная \ точка
Действительная
Случай 3:
и
Фиг. 3.4. Векторное суммирование интеграла ^ exp р—j dy\. '
—а
Случай 1 — фазовый угол остается равным нулю для всех построенных векторов; случай 2—фазовый угол монотонно увеличивается от начального значения —я до конечного значения +я; случай 3—фазовый угол монотонно увеличивается от —я/4 до +я/4.
Если фазовый угол изменяется от — Ф до + Ф, то радиус кривой длины 2а должен быть равен а/Ф, а длина хорды 2 (а/Ф) sin Ф— —2a (sin ф/ф) (см. случай 3). Из подынтегрального выражения следует, что в общем случае *»»2яayi/fr рад.
104
Глава 3
расходится; она не может дать правильного ответа на не имеющий смысла вопрос. Для того чтобы рассмотреть этот случай, мы должны использовать эйконал, который является функцией других переменных, например ух и Vu а не у\ и г/г-
При вычислении эйконала W(yuV\) в этом специальном случае мы будем использовать упрощенную матрицу преобразования лучей
Г т 0 1
1-1// 1 /тУ
приведенную под номером 7 в табл. 3.1 для систем, формирующих изображение.
Рассматривая, как и прежде, характерный луч, можно записать такое же выражение для эйконала, а именно
W Л 2Ri ^ 2R2 а 2 т 2 ’
но теперь нужно представить произведение y%V% через у\ и Ръ Следовательно,
Г(уь +
Отметим, что в данном случае зависимость от Vx исчезает и эйконал является функцией только от у\\ это непосредственно следует из теоремы Малюса — время, которое необходимо свету для того, чтобы пройти от некоторой точки предмета у\ до точки изображения в плоскости ОП2, одинаково для всех лучей, исходящих из точки предмета, т. е. для лучей с произвольными значениями параметра V\.
