Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
W (У\, Уз) — (OtPi — O1Q1) + п2(02Р2 — 02Q2)]-
Выражения в круглых скобках определяют стрелы прогиба дуги волновых фронтов сферических волн, достигающих опорных плоскостей ОП1 и ОПг. Если для радиусов кривизны каждого волнового фронта использовать приведенное значение R = г/п, т© выражение y2/2R = пу*/2г будет определять как геометрическую стрелу прогиба волнового фронта, так и показатель преломления среды, в которой распространяется волна.- Таким образом, получаем
У(Уи Уд** [/Г — -щ- + 2^] —
уЛУ2~АУ\) ¦ а~У))1 , (Лу? + Ду|-2у,уа)~{
“Ч* 2 В + 2 В — I*’' 2В _Г
Напомним, что К — это полный оптический путь ^ n{z)dz,
причем интегрирование проводится вдоль оси между ОП1 и ОП2. Поскольку величина К ие зависит от у\ и у%, то она должна играть важную роль при расчетах интерферометра, когда возникает необходимость сравнивать два различных оптических пути.
Для многих вычислений, включающих расчет оптической дифракции, обычно представляет интерес зависимость W от поперечных координат у\ и yi. Предположим, что нам задана комплексная функция Ах(у\), которая характеризует амплитуду и фазу световой волны на входной плоскости ОПь и мы хотим вычислить соответствующую комплексную амплитуду Aifa), определяющую световую волну на выходной плоскости.
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
99
Ограничиваясь рассмотрением одномерной задачи и пренебрегая небольшой поправкой, связанной с медленно меняющимися эффектами наклонного падения1), с помощью принципа Гюйгенса — Френеля можно получить следующее уравнение дифракции:
А2{у2) = (-^)* J Ах {у{)ехр[Ц-№(уи у2^ух.
В этом выражении постоянная величина (—i/XB)'b является нормирующим множителем, который необходим для того, чтобы размерности правой и левой частей совпадали, и который учитывает ослабление волны в выходной плоскости в том случае, если В очень велико. Поскольку аналогичные вычисления должны быть проведены и для х-координаты, то в итоге получаем, что амплитуда обратно пропорциональна первой степени В, а интенсивность подчиняется известному закону обратных квадратов. (Короче говоря, точечный источник, расположенный в плоскости ОПь дает изображение на расстоянии В/D слева от ОПг с поперечным увеличением I/O; следовательно, в нормирующий множитель должен входить только матричный элемент В.)
Рассматривая подынтегральное выражение, мы видим, что вклад, который вносит каждый элемент ОП! в амплитуду волны в ОПг, определяется аргументом комплексного экспоненциального множителя, а именно фазовым углом ф, равным оптическому пути W, деленному на длину волны X й умноженному на 2л. Чтобы понять, как строится этот интеграл, его можно представить себе как сумму большого числа малых векторов, складываемых с учетом соответствующих фазовых углов ф на диаграмме Аргана. Если все эти векторы складываются графически таким образом, что начало каждого следующего вектора совмещается с концом предыдущего, то вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, определяет результирующую амплитуду в выходной плоскости, а квадрат длины этого вектора — результирующую интенсивность волны.
Рассмотрим теперь несколько простых примеров построения функции эйконала между двумя опорными плоскостями.
2.2. Распространение пучка через воздушный промежуток
толщиной t
В данном случае матрица записывается в виде
__________ [с М ',]•
*) Имеется в виду параболическое параксиальное приближение. — Прим. перев.
4*
100
Глава 3
Подставляя эти матричные элементы в выражение эйконала, имеем
Г ta, *)-[(+«и4=аа]_[(+й1^й?].
{Если при вычислениях использовать непосредственно теорему Пифагора, то точное расстояние дается выражением [t2 + (у2—
— Ух)2]'/*- Однако для параксиальных лучей, проходящих через две плоскости, отношение (у2— yi)/t должно быть мало, так что наше приближение вполне справедливо.}
Подставляя полученное выше выражение для эйконала в уравнение дифракции, можно решить задачу о дифракции Френеля. Например, если на ОП] падает плоская волна единичной амплитуды, причем половина- ОП1 закрыта поглощающим клином с острым краем, то мы имеем следующие условия на входе: ^i(*/i)= 1 при ух > 0 и А\(ух)=: 0 при щ < 0. Тогда распределение амплитуды в затененной части ОП2 дается выражением
AiШ = tтfУ, J Л,(у,)exp[~ (t4- {Уя~У,)2 )]dy{ -
—00
+ 00
e(-if),,exp[^r] S ехР[тг(У2~Ух?\<1у1.
о
Интегралы, входящие в это выражение, называются интегралами Френеля; в графическом представлении на диаграмме Ар-гана онн образуют спираль Корню.
Поскольку выражение эйконала для оптического промежутка является функцией только разности у2— у\, новое распределение амплитуды А2(у2), определяемое дифракционной формулой, можно рассматривать как свертку исходного распределения амплитуды Ai(y{) и члена с квадратичным законом изменения фазы, определяемым эйконалом; А2{у2) иногда называют теневым преобразованием амплитуды Ai(y{). Преобразования такого типа играли важную роль в ранних работах Габорам по «одномерной» голографии.
2.3. Преобразование пучка между двумя фокальными плоскостями линзы
В этом случае матрица ABCD имеет вид
