Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Понятие геометрического луча является идеализацией свойств таких волновых нормалей. При условии что из рассмотрения исключается фокальная и околофокальная области, лучи и соответствующие им волновые фронты можно представить себе как взаимно ортогональные семейства прямых линий и кривых поверхностей.
У
Фиг. 3.1
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
95
В том случае, когда волновой фронт можно считать сферическим, его форма полностью определяется векторами лучей двух пересекающихся нормалей к волновому фронту. Кроме того, если известно, что центр кривизны сферического волнового фронта расположен в некоторой точке на оптической оси, то достаточно задать всего лишь один дополнительный параметр, чтобы полностью определить его местоположение.
Вернемся теперь к нашей геометрической модели лучей; однако вместо того, чтобы рассматривать отдельные лучи, обобщим нашу модель, введя понятие пучка лучей, связки или семейства лучей, исходящих из одной и той же точки. В качестве примера на фиг. 3.1 показаны несколько параксиальных лучей, расходящихся от некоторого точечного объекта Оi, расположенного на оси на расстоянии rt слева от опорной плоскости ОП]. Для всех членов этого семейства отношение высоты луча tji к лучевому углу Vi равно г\, т. е.
Если теперь рассматривать каждый из лучей в этом пучке как нормаль к волновому фронту, то полученный таким образом волновой фронт будет сферическим, причем его центр кривизны будет расположен в точке Oi на расстоянии г\ слева от ОП1; поскольку лучи в нашем пучке распространяются слева направо в положительном направлении оси г, то волновые фронты, связанные с этим пучком, должны расширяться и расходиться.
При определении кривизны волнового фронта для удобства будем считать ее положительной, когда волна расходится, и использовать для радиуса кривизны «приведенное значение» R = (r/n) = (y/V). Использование приведенных значений дает следующее преимущество: в тех случаях, когда световой пучок пересекает плоскую границу раздела двух сред, значение R для соответствующего волнового фронта остается неизменным. (Эта инвариантность связана с тем, что для каждого луча, пересекающего такую границу, как высота у луча, так и оптический направляющий косинус V остаются постоянными.) Для сферического фронта, центр которого расположен на оси, и данной опорной плоскости значение R является единственным параметром, который полностью определяет форму волнового фронта.
Рассмотрим теперь, как меняется значение параметра (y/V), или R, для пучка лучей при прохождении его через оптическую систему. Из матрицы преобразования лучей получаем непосредственно два уравнения:
Уъ — Л У\ + BV1,
V^Cyt + DVt.
Оптические резонаторы и распространение лазерного пучка
97
Для описания такого луча можно использовать как входные, так и выходные значения у я V, однако обычно предпочитают иметь дело с высотой луча на входе у\ и высотой луча на выходе г/г- Посмотрим теперь, каким образом можно использовать матрицу преобразования луча при получении выражения эйконала W (уи у2) для полного оптического пути пучка между двумя опорными плоскостями.
Если нам известны только значения у\ и г/г, характеризующие луч, тем не менее можно получить соответствующие значения Vi и V2, решая систему совместных уравнений
y2 — Ayi + BVI,
V2 = Сг/i + DV i относительно Vi и V2. Очевидно,
Vl_ir=M „ v2-.Cyl+ D.
Поскольку AD — ВС — 1, получаем
1>Уг - У\
в •
Следовательно, точка пересечения входящего в систему луча с оптической осью (точка Oj) расположена на расстоянии Ri = = yJVi =Byi/(y2 — АуО от плоскости ОПь Аналогично точка пересечения выходящего из системы луча с оптической осью (точка 02) расположена на расстоянии R2 слева от ОП2, причем R2 =zy2IV2=^By2/(Dy2 — yi) (фиг. 3.2).
Теперь представим себе, что рассматриваемые нами входящий и выходящий лучи являются элементами пучков лучей, расходящихся из точки Oi в пространстве предметов и из точки 02 в пространстве изображений соответственно. Очевидно, точка
02 есть изображение точки Оь и мы можем использовать тео-
Фиг. 3.2
4 Зак, 774
98
Глава 3
рему Мал юса, которая утверждает, что в любой стигматической системе, формирующей изображение, оптический путь, измеряемый вдоль луча, одинаков для всех лучей, исходящих из данной точки предмета, — иными словами, сферическая волна, исходящая из точки Оь возбуждает другую сферическую волиу, сходящуюся в точке Og.
Однако, если мы рассматриваем луч, распространяющийся прямо вдоль оси из точки 0\ в точку 02, то, как показано на фиг. 3.2, его оптический путь равен [ni(OiQi) — П2(02(}2)-\- /С], где К представляет собой полный оптический путь, измеряемый вдоль оси от ОП1 до ОПг. Полный оптический путь от точки Oj до точки 02, проходящий через Pi и Р%, по теореме Малюса должен быть таким же, а именно равным приведенному выше выражению в квадратных скобках. Для того чтобы получить расстояние между Р] и Рз, из полного пути нужно вычесть величину П\ • {0\Р 1) и прибавить величину {02Р%). Таким образом, эйконал для полного оптического пути между Pi и Р% запишется в виде
