Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
(21 — 24) Л132 = (Gn/21 + G2i/ 11 — G\2J22 — G22Ji2)/2, (VI. 38)
(22 + 23) M33 = {GnJoo + G2]/i + G12/ i + G2i/n)/2, (VI. 39)
(23 — 22) M34 = i(GUJ,2 + G2\J 12 — Gi2/2i — G22Jn)/2, (VI. 40)
(25 + 28) M41 = i (G21/n + G22Ji2 — Gn/21 — G\2J22)72, (VI. 41)
(25 — 28) Al|2 = i{G2\I\\ + G12/22 — Gn/2i — G22/i2)/2, (VI.42)
(26 + 27) Af43 = i(G2lJi2 + G22Jи — Gn/22 — Gi2/2i)/2, (VI. 43)
(27 — 26) — (G^n -4- G]i/22 — G12/21 — G21/12)/2. (VI. 44)
Эти выражения полностью совпадают с выражениями, данными Паркером.
§ 6. ПОЛУЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦЫ ДЖОНСА ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЦЫ МЮЛЛЕРА
Элементы матрицы Джонса в общем случае комплексны, и нужно находить выражения как для действительной, так и для мнимой частей этих элементов. При выводе оказывается удоб-
330
Приложение VI
ным пользоваться полярным представлением комплексных матричных элементов, т. е. комплексное число, например X + tT, записывать в виде Rexp(iQ), где R — л/ X2 -\-Y2, a tg 0 = Y/X. Следовательно, комплексно сопряженное число X — tT записывается как /?ехр(—10). Таким образом, вместо /ц имеем /?uexp(t0u) и т. д. Следовательно, G,,/,, = {/?,, ехр (—/0И)} X Х{Я„ exp(/0|I)} = /?2, и т. д.
Складывая уравнения (VI. 13) и (VI. 17), имеем
ми + м21.+ М12 + = 2 Guju = 2R\V
Следовательно,
Rn = {(М„ + М2, + М12 + Мп)1Щ'1г. (VI. 45)
Аналогично, вычитая (VI. 17) из уравнения (VI. 13), получаем
Я* = {(Ми + МХ2 - M2l - М^/2}'1'. (VI. 46)
Складывая уравнения (VI. 16) и (VI. 20), приходим к
R!2 = {(М„ - м12 + М2| - Мю)/2}''\ (VI. 47)
Вычитая (VI. 20) из (VI. 16), получаем
R72 = {(М„ - М12 - М21 + М22)/2}'Л. (VI. 48)
Таким образом, мы нашли модули матричных элементов Джонса. Что касается аргументов, то достаточно определить разности между одним из них, выбранным произвольно, и остальными тремя аргументами. Дело в том, что увеличение на одну и ту же величину аргументов всех четырех элементов матрицы Джонса означает просто прибавление этой величины к ш/ в правых частях уравнений (VI. 1) и (VI. 2), т. е. введение добавочной фазы ф, что, как уже отмечалось, никоим образом не сказывается на интенсивностях.
Складывая уравнения (VI. 31) и (VI. 35), имеем
•^13 + ^23 = Оц/12 + G\2J п =
= R\\R\2 [ехр(— 1'0ц) ехр(t*0,2)] -f + #i2#n [ехр (— i0,2) ехр (ien)] =
= R\\R\2 {ехр[< (0ц — 0,2)] + ехр [— / (0П — 012)]} =
= RuR\22 сов(0ц — 0i2).
Следовательно,
c0S(ell _ е,2)= м‘з + лч =-------------м13 + Мп---------- ( 49)
2 RnRu \(Мп+МпУ-(М12 + М22У\Ч'’ У
Взаимосвязь между методами Джонса и Мюллера
331
где вместо /?,, и R,2 мы подставили их выражения (VI. 45) и (VI. 47). Складывая (VI. 32) и (VI. 36), имеем
Мц + ^24 = i (GuJ 12 — Gi2Jn) =
— iRnRu [exp (— /0П) exp (i012) —
— exp (— i012) exp (t'0,,)] =
= iRuRu {exp [/ (0,2 — 0,,)] ~ exp [— / (0,2 — 0,,)]} =
= iRnRn 2 i sin (012 — 0U) =
= 2/?j,/?,2 sin (6j, — 0,2),
откуда, как и выше, находим
sin(0„ —0,2) =-------------------Ми +—2<--------(VI. 50)
[(Ain + М21? - (М12 + М22)2] '/*
Для того чтобы полностью определить угол в интервале от 0 до 2л, достаточно знать лишь sin (0,, — 0i2) и cos (0,, — G,2) -Комбинируя соответствующим образом уравнения (VI. 39) — (VI. 44), можно таким же способом найти выражения для синусов и косинусов от разностей между 0,, и двумя другими аргументами матричных элементов Джонса. Складывая (VI. 37) и (VI. 38), получаем
cos (021-0„)=:-------------------Мы + Мм-------- (VI. 51)
[(М„ + М12)2 - (М2, + Л^)2]'/»
а путем сложения уравнений (VI. 41) и (VI. 42) находим
sin (02, — 0,,) -------------+ —2---------------п-. (VI. 52)
[(Ми + Mi2)2 - (M2i + Af22)2]'/* V }
Сложение уравнений (VI. 39) и (VI. 44) дает
cos(0,,- 022) =--------------------Мп±М^-------- (у1 53)
а вычитание (VI. 40) из уравнения (VI. 43)
sin (в22 — 0,,) -------------—3 ~ Мз*-----------;т-. (VI. 54)
[(Afu + Af22)2 — (ЛГ21 + Afi2)2] ^ V 1
Во всех десяти уравнениях (VI. 45—VI. 54) следует брать положительные значения квадратного корня, представляющие величины Rij.
При пользовании формулами обращения необходимо соблюдать некоторую осторожность, поскольку матрица Мюллера с ее шестнадцатью действительными элементами не всегда может быть выражена через матрицу Джонса, содержащую лишь четыре действительных и четыре мнимых элемента. Можно показать, что для любой матрицы Джонса, которая только может
332
Приложение VI
быть выписана, существует физически реализуемый поляризационный прибор и, стало быть, существует соответствующая ему матрица Мюллера. С другой стороны, если шестнадцать произвольно выписанных чисел образуют матрицу Мюллера, то может оказаться, что нельзя решить уравнения (VI.45—VI.54)-, не получив мнимых значений для величин, которые по определению должны быть действительными, т. е. для величин R и разностей фаз 0. Даже в том случае, когда все подкоренные выражения положительны, уравнения могут предсказать недопустимые пары значений для косинусов и синусов, сумма квадратов которых не равна единице. Так происходит, например, если рассматривается матрица Мюллера для «идеального деполяризатора», у которого Мп = 1, а все остальные элементы равны нулю. Без процесса усреднения по времени деполяризовать всЙЦу невозможно; прибор физически нереализуем, и для него не существует матрицы Джонса.
