Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Я
/21 = cos (а) sin (а) {1 — ехр (— /б)}.
Исцользуя здесь два полученных выражения для tga, после простых преобразований получаем
/12 = sin (a) cos (a) {1 — exp (— /6)}
и
/22 = sin2 (a) + cos2 (a) exp (—1'6).
Таким образом, матрица Джонса для фазовой пластинки общего вида с произвольной ориентацией записывается в виде
[cos2 (a) + sin2 (a) exp (— lb) cos (a) sin (a) {1 — exp (— Й)} 1 cos (a) sin (a) {1 — exp (— f6)} sin2 (a) + cos2 (a) exp (— /6) J'
В качестве упражнения читателю предлагается доказать, что матрица Джонса простого вращателя, т. е. прибора, который поворачивает плоскость колебаний линейно-поляризованного
Получение матриц Джонса
323
света на угол 0 против часовой стрелки (это, например, осуществляется некоторыми органическими жидкостями), имеет вид
[cos 0 — sin 01
sinQ cos 0 J'
Вообще говоря, если J представляет собой матрицу Джонса, вычисленную для некоторого частного прибора, то новая матрица для того же прибора, но повернутого на угол 0, дается тройным~матричным произведением
/?(-0)Х/Х/?(0).
Для того чтобы закрепить это полезное правило, читателю полезно убедиться самостоятельно в том, что приведенная выше матрица для линейного вращателя плоскости поляризации на произвольный угол 0 равна произведению следующих матриц:
Г cos 0 — sin 0 "j Г 1 О "1 Г cos 0 sin 0 "J
Lsin0 cos 0 J L 0 sin0 cos0J’
В табл. 4.1 (см. § 5 гл. 4) приведены такие матрицы для некоторых частных случаев. Нужно отметить, что именно азимут быстрой оси (направление наиболее быстрого распространения волны) конкретизирует каждый отдельный случай, так что в случае волновой пластинки, вырезанной из отрицательного одноосного кристалла, значения 6 относятся к отставанию по фазе для обыкновенной волны.
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ МЕТОДАМИ РАСЧЕТА ДЖОНСА И МЮЛЛЕРА
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Поскольку и матрица Мюллера, и матрица Джонса описывают свойства оптических приборов и для полностью поляризованного света результаты, полученные тем и другим методом, всегда совпадают, то между этими двумя методами расчета должна существовать тесная связь. Паркес показал, используя матрицы когерентности Винера, что элементы матрицы Мюллера для конкретной системы можно выразить через элементы матрицы Джонса той же системы. Цель этого параграфа состоит в том, чтобы показать, что это можно сделать в рамках формализма матриц Джонса и Мюллера. Кроме того, мы получим формулы обратного перехода от одной матрицы к другой и вычислим действительную и мнимую части матрицы Джонса по известной матрице Мюллера (при условии, что матрица Мюллера описывает физически реализуемый поляризационный прибор).
§ 2. ВЫВОД СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ СТОКСА И МАКСВЕЛЛА
Покажем теперь, что все параметры Стокса можно выразить через вектор Максвелла и через транспонированный ему комплексно сопряженный вектор и некоторые постоянные матрицы 2X2, которые мы определим в этом параграфе.
В общем случае вектор Максвелла луча записывается в виде
Е = ? ^ ехр J. Его транспонированный вектор принимает
вид вектор-строки [Я /Cexp(t'A)]. Комплексно сопряженный ему вектор при этом равен [Я К ехр(—tA) ]. (Этот вектор можно назвать эрмитово сопряженным по отношению к вектору Е. Обозначим его, как и в § 7 гл. 4, через Е.)
Следовательно (используя матричное умножение), имеем
а) ЕХЕ=[Н ««Ф(->'*)]х["ыр(,.д)]-Я!+К!
Взаимосвязь между методами Джонса и Мюллера
325
[поскольку exp(iA)exp(—iA) = 1]. Мы получили первый параметр Стокса луча, т. е. I. Ниже между Еи? будет введена еди-
Г 1 °1
ничная квадратная матрица! ^ j I; назовем ее Ль Разумеется,
введение матрицы А\ не может повлиять на конечный результат расчета. Таким образом, мы можем написать
Е XAlXE = I. (VI. 1)
6)Ex[J _®]x*-bx[J _?]x["exp(t.A)] =
- =[Я Ке*р(-?Д)1 X[_"ехр((.Д)] —
= Я2 — /С2 = Q.
Все это можно записать в виде
Е X Л X ? = Q, (VI. 2)
где
*-[1 М ¦
=>Ex[J ‘]x* = Ex[J о]х["ехр(гД)] =
— [Н /Сехр(-/А)]х[^еХР(гЛ)] =
= НК ехр (iA) + НК ехр (- /А) =
= НК (cos А + i sin А + cos А — i sin А) —
= 2НК cos A = С/.
Это можно записать в виде
Е XA3XE = U, (VI .3)
где
*-[? i]-
Г)ЕХ[" -']Х?=ЕХ[“ “о]х["ехр(,д)]-
326
Приложение Vi
Г — iK ехр (гА) 1
= [Н /Сехр(-гД)]Х[ ш J=
= — iHK ехр (гД) + iHK ехр (— г'Д) =
= НК {— г (cos Д + г sin Д) + г (cos Д — г sin Д)} =
= НК {— г cos Д — г2 sin Д + г cos Д — г2 sin Д} =
= 2НК sin Д = V (здесь мы учли, что i2 = — 1). Запишем это в виде
" Е XA4XE = V, (VI. 4)
где
'Л-
(Приведенные только что уравнения (VI. 1 — VI. 4) позволяют представить каждый из четырех параметров Стокса в виде «матричного сэндвича». Три матрицы А2, Л3 и Л4 тесно связаны со спиновыми матрицами Паули.)
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ „МАТРИЧНЫХ СЭНДВИЧЕЙ"
ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЦ МЮЛЛЕРА И ДЖОНСА
3.1. Использование матричных элементов Мюллера
Первое уравнение, определяющее матричные элементы Мюл-лера, записывается в виде
/, = Мп10 + M12Q0 + Mi3U0 + MUV0.
Воспользовавшись выражениями, полученными в § 2, для пара* метров Стокса через элементы вектора Максвелла, можем записать
Е1ХА1ХЕ,=(МиХЬ0ХА1ХЕ0) + (М12ХЬ0ХА2ХЕ0) +
