Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
-1 п - 1
S7-
2 I
2 2 I Хт Р. (6-1.3)
N
t= — п т= —п
^=4г 2 ^-/2лт'4/"Д = 4г 2 xte~i2™tlN . (6.1.4)
Вклад IXmI2 в среднюю мощность на частоте fm называется интенсивностью сигнала на этой частоте, а график величин |Хт|2 в зависимости от m называется линейчатым спектром Фурье. Пример такого спектра приведен на рис. 2.2.
Спектр мощности детерминированных сигналов. Главное различие в анализе детерминированных и случайных сигналов выявляется как раз тогда, когда длина записи неограниченно возрастает. Во многих технических учебниках это различие не объясняется, а используются рассуждения следующего характера. Из (6.1.1) дисперсия бесконечной записи равна
7/2 оо со
^ = Hm-I Г x*(t)dt=\\m 2 {T\Xm\*)±r= \ v{f)df,.
7-»oo _T/2 7-**>m=—oo -оо
где функция
Г (/) = lim Л ^J2 (6.1.5)
T-*- оо
і
6.1. Выборочный спектр
257
называется «спектром мощности» Фурье. Воспользовавшись формулой (6.1.2), функцию Т\Хт\2 можно записать в виде
Т/2
T\Xm\* = Cxx(f)=±r
j x(t)
-Т/2
(6.1.6)
Отметим, что функция Cxx(f) определена на непрерывном интервале частот —сю^/^оо. Она называется выборочным спектром, или выборочной спектральной плотностью *'. Для дискретного случая выборочный спектр равен
CxAf) =
N
а
N
2 xfi-™"
2 Xt COS 2теftb. ) + 2 sin 2те
л —1
2П
1 </< 1
2Д
2Д
(6.1.7)
Частота 1/2Д. в (6.1.7) называется найквистовой. Мы обсуждали ее в гл. 2; это — наивысшая из частот, которую можно обнаружить по данным, отсчитываемым через А секунд.
Заметим, что если преобразование Фурье сигнала x(t) является регулярной функцией, то предел (6.1.5) для r(f) равен нулю. Это происходит потому, что если преобразование Фурье функции x(t) существует, то сама она должна стремиться к нулю при г->±оо. Однако если x(t) не затухает на бесконечности, то функция Cxx(f) будет обычно стремиться к вполне определенному пределу Г(/). Для детерминированных сигналов CXx(f) сходится к Г(/) плавно в том смысле, что функция С'хх (/), полученная при увеличении
длины записи от T до 7", является сглаженным вариантом функции Cxx(f), вычисленной по записи длины Т.
В следующем разделе будет показано, что определение (6.1.5) не подходит для случая, когда x(t) является реализацией случайного процесса. Основное различие в анализе Фурье детерминированных и случайных сигналов состоит в том, что во втором случае при увеличении длины записи от T до 7">T функция C'xx(f) не
становится более устойчивой, т. е. Cxx(f) не сходится в каком-либо статистическом смысле к предельному значению при Т—>оо.
*' В оригинале sample spectrum. Более точно было бы называть функцию Сix U) выборочной спектральной плотностью, однако ради краткости мы будем использовать и термин «выборочный спектр» там, где это не приводит к неясности. Для дискретного времени выборочный спектр (6.1.7) часто называют периодограммой. — Прим. перев.
9 Заказ № 1210
258
Г л. 6. Спектр
6.1.2. Выборочный спектр белого шума
Чтобы проиллюстрировать результат применения анализа Фурье к случайному процессу, был взят ряд из 400 случайных нормальных чисел (гауссовский белый шум). Выборочный спектр Czz(t) вычислялся для четырех рядов, состоящих из первых 50, 100, 200 и 400 членов соответственно. На рис. 6.1 приведены значения выборочных спектров Czz(f), сосчитанные по формуле (6.1.7), на частотах f = 0,02; 0,04, ..., 0,50 гц для случаев TV = 50 и JV = 100 при Д = = 1 сек. На рисунке изображен также теоретический спектр, который, как показано в разд. 6.2.3, равен константе в интервале -V2^/<72.
Как видно из рис. 6.1, функции Czz(f) сильно колеблются, и на основании этих графиков трудно предположить, что истинный спектр равен константе, т. е. что временной ряд является белым шумом. Отметим также, что отклонения Czz(f) от истинного спектра для N = 100 такие же, как и для /V = 50, что указывает на отсутствие статистической сходимости какого-либо типа.
В табл. 6.1 представлены характеристики, полученные из выборочных спектров, сосчитанных по 50, 100, 200 и 400 членам. Поскольку теоретический спектр равен константе, флуктуации Czz(f) можно охарактеризовать, сосчитав среднее значение, дисперсию и среднеквадратичную ошибку величин Czz(f) при изменении частоты. Видно, что для каждого из рядов среднее значение близко к единице— теоретическому спектру. Следовательно, значения Czz(f) группируются около некоторой центральной величины. Однако, как видно из табл. 6.1, дисперсии не уменьшаются с ростом N, что говорит о том, что выборочные оценки спектра, сосчитанные по 100, 200 или 400 членам, не лучше оценки, сосчитанной по 50 членам.
6
Таблица 6.1
Поведение выборочных спектров белого шума по мере возрастания длины записи
N 50 100 200 400
Среднее 0,85 1,07 1,00 0,95
Дисперсия 0,630 0,777 0,886 0,826
Среднеквадратичная 0,652 0,782 0,886 0,828
ошибка
В гл. 4 мы видели, что хорошие оценки обладают тем свойством, что их дисперсия убывает с ростом N. Отсюда можно заклю-
6.1. Выборочный спектр
259
чить, что Czz(f) не является хорошей выборочной оценкой спектра, по крайней мере в том виде, в каком она здесь приведена.
