Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
OO
К, (X) = K4 (Z) J п (V) h (V + U1) h (V + U2) h(v + иа) dv.
о
Для нормального белого шума Ki(Z) тождественно равен нулю, и, следовательно, Ki(X) также является тождественным нулем. Для негауссовского белого шума интеграл
OO
j" h (v) h (v + U1) h(v + U2) h (v + U3) dv, 6
OO
вообще говоря, мал по сравнению с интегралами вида $h(v)h(v +
о
+ «i) dv, и поэтому кумулянтным членом в (П5.2.9) можно пренебречь по сравнению с членами, содержащими ухх- Это приближение используется при выводе моментов оценок выборочной ковариационной функции в разд. 5.3.3.
Логическая схема программы вычисления ковариаций
253
ПРИЛОЖЕНИЕ П5.3
ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА ПРОГРАММЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОВАРИАЦИЙ
Ниже приводится логическая схема вычислительной программы, предназначенной для обработки NS рядов, каждый из которых состоит из N точек*'. Программа вычисляет NS автоковариаций и NS(NS — 1) взаимных ковариаций, причем максимальное запаздывание, до которого производятся вычисления, равно МАХМ. Программа также считает приближенные авто- и взаимные ковариаций для первых разностей от входных данных. Выход состоит из печати всех ковариаций и разностных ковариаций, графиков всех корреляций, над которыми построены графики разностных корреляций, и записанных на магнитную ленту или на перфокарты значений всех ковариаций и разностных ковариаций для последующего использования в спектральных программах. Печатный выход используется главным образом в качестве повторного контроля, когда ковариаций являются входом для следующей программы.
Программа MULTICOR
1. Считывать NS, N, МАХМ.
2. Считывать IDENT(J), X(I, J), I = 1,M, J = I, NS.
3. Вычислить средние значения
N
XM(j) = -^-2 X(L J)> J = 1' Ns-
I = I
4. Запомнить отклонения
X(I, J)-XM(J)-X(I, J).
5. Вычислить ковариаций
N-к
COV(K, J, L) = -1-2 X(L J)* X(I-f-К, L),
I = I
K = O, МАХМ-J-1; .1=1, NS; L=I, NS.
6. Вычислить разностные ковариаций
DCOV(K, J, L) =-COV(K-I, J, L) +2* COV(K, J, L)-
- COV(K+ 1, J, L).
_ K = O, МАХМ; J=I, NS; L = I, NS.
*> Авторы используют в приложении П5.3 некоторые стандартные обозначения и символы, употребляемые в международном алгоритмическом языке ФОРТРАН. Подробнее о ФОРТРАНе см. [11*]. — Прим. перев.
254
Приложение П5.3
7. Вывести ковариации и разностные ковариации с помощью печатающего устройства и перфоратора или магнитофона.
8. Вычислить корреляции
COR(K, J, L) = COV(K, J, L)/J/COV(0, J, J)* COV (О, L, L) DCOR(K, J, L) = DCOV(K, J, L)/KDCOV(0, J, J)-X-DCOV(O, L, L) K = O, MAXM; J=I, NS; L=I, NS.
9. Построить графики корреляций, а над ними графики разностных корреляций.
Глава 6
СПЕКТР
В гл. 5 было показано, что стационарный случайный процесс просто описывается с помощью ковариационной функции. Точно такое же описание дается его спектром мощности, который является преобразованием Фурье ковариационной функции. Спектр мощности показывает, как дисперсия случайного процесса распределена по частоте.
В разд. 6.1 говорится о том, что классический анализ Фурье не применим к временным рядам. Так, оценка спектра, полученная по формулам анализа Фурье, а именно выборочный спектр, обладает тем нежелательным свойством, что ее дисперсия не уменьшается при увеличении длины временного ряда. Поэтому для временных рядов методы гл. 2 нужно видоизменить. В результате мы приходим в разд. 6.2 к такому определению спектра, которое подходит для случайных процессов. В этом разделе рассматриваются также спектры процессов авторегрессии и скользящего среднего.
В разд. 6.3 показано, что с помощью сглаживания выборочного спектра можно получить улучшенную оценку спектра. Чем сильнее сглаживание, тем меньше дисперсия этой оценки, однако при этом возрастает смещение, или систематическое искажение. Поэтому нужно выбирать некоторый компромисс между смещением и дисперсией.
В разд. 6.4 выводятся дальнейшие свойства сглаженных оценок, в том числе свойства, связанные с понятием ширины полосы частот. Показано также, что доверительные интервалы для каждой частоты легко получить, используя логарифм выборочной оценки спектра.
6.1. ВЫБОРОЧНЫЙ СПЕКТР
6.1.1. Применение методов Фурье к временным рядам
Анализ Фурье. В гл. 2 было показано, что дисперсию, или среднюю мощность, сигнала x(t) на отрезке —T/2^t^T/2 можно разложить на вклады от гармоник fm = m/T основной частоты fi = \/T согласно формуле
(6.1.1)
256
Гл. 6. Спектр
Xm называется комплексной амплитудой гармоники fm = m/T. Она дает амплитуды синусоидального и косинусоидального членов сигнала x(t) на частоте fm. Комплексную амплитуду можно вычислить по формуле
Т/2
Xm = ± j х(і)е-ркті,Т dt, (6.1.2)
-Т/2
подставляя в нее
-j2nmi/T 2тіт( . 2nrnt Є = COS-=---J sin -=— .
Напомним, что разложение x(t) в ряд Фурье имеет вид
OO
x(t) = У Хтел
„+j2nmt/T
т = — оо
Аналогично для дискретного сигнала, наблюдаемого в моменты времени i = —пА, —(п—I)A1 ..., (п—I)A, среднюю мощность можно разложить на вклады конечного числа гармоник основной частоты fi=\/NA (М = 2п), а равенства, соответствующие (6.1.1) и (6.1.2), имеют вид
