Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
(4.4.1)
4.4.2. Свойства функций правдоподобия
(4.4.2)
После проведения эксперимента, заключающегося в проверке 8 транзисторов, оказалось, что три транзистора дефектны. Функция
148
Гл. 4. Введение в теорию статистических выводов
правдоподобия в этом случае имеет вид
L(p) = 56p3(\ - р)5. (4.4.3)
Теперь предположим, что был проведен другой эксперимент, в котором транзисторы проверялись до тех пор, пока не было обнаружено г дефектных. До проведения этого эксперимента число проверенных транзисторов можно описать с помощью случайной величины N, выборочного пространства n = r, r+1, ..., оо и распределения вероятностей Паскаля
/V (*) = (" I [ ) РГ (1 _ РУ~Г- <4Л4>
которое дает вероятность того, что для получения г дефектных транзисторов нужно проверить всего п транзисторов.
Если оказалось, что для получения трех дефектных пришлось проверить п = 8 транзисторов, то функция правдоподобия после проведения экспериментов окажется равной
L (р) = 21 р3(\ - р)5. (4.4.5)
Равенство (4.4.5) пропорционально равенству (4.4.3), и, согласно принципу правдоподобия, информация относительно параметра р, содержащаяся в обоих экспериментах, одинакова. Если же принять метод выборочных распределений, то выводы, которые должны быть сделаны из этих двух экспериментов, будут разными, так как выборочные пространства и распределения вероятностей являются в них различными. Следовательно, доверительный интервал для р в первом эксперименте отличался бы от доверительного интервала во втором.
Отметим, что принцип правдоподобия является формальным выражением того факта, что выборочное пространство не связано с оцениванием р. Дальнейшее обсуждение принципа правдоподобия читатель может найти в [8, 9].
Перемножение правдоподобий. Если функцию правдоподобия для параметра 8, вычисленную по данным Di, обозначить L(Q]Di) и если независимые данные D2 дают функцию правдоподобия L(QlD2), то полная функция правдоподобия, основанная на данных Di и D2, имеет вид
Z(QID1, D2) = L(ОID1)L(91D2).
Это сразу следует из того, что если два набора данных независимы, то полная выборочная плотность вероятности равна произведению отдельных выборочных плотностей вероятности.
В этом смысле функция правдоподобия подчиняется тому же мультипликативному закону, что и плотность независимых случайных величин. Правдоподобие, как и распределение вероятностей,
4.4. Выводы, основанные на функции правдоподобия
149
является неотрицательной величиной. Однако на этом их сходство кончается. Не существует закона для объединения правдоподобий, который был бы аналогичен правилу сложения для вероятности объединения двух взаимоисключающих событий.
Шансы, получаемые из отношения правдоподобия (likelihood odds). Рассмотрим функцию правдоподобия (4.4.3) для параметра р. Выборочной оценкой максимального правдоподобия является
P = 3Is, которая дает значение правдоподобия -g-j =0,282. Для
другой величины р, скажем P = Ve, правдоподобие равно Z,(-^-) =
= 0,0104. Отсюда шансы, получаемые из отношения правдоподобия, за то, что P = 3Is по сравнению с P = 1Is, равны 27: 1.
Это утверждение можно интерпретировать следующим образом:
1) Шансы, получаемые из отношения правдоподобия, измеряют степень обоснованности, с которой по нашим данным параметру р можно приписать значение 3Is, а не Ve- Для того чтобы эти два значения можно было считать одинаково правдоподобными, нужно, чтобы другой независимый эксперимент дал те же шансы в пользу значения р = Vs:
2) Лицо, не имеющее никакой дальнейшей информации, было бы готово заключить пари в отношении 27 : 1 за то, что истинным значением окажется P = 3Is, а не P = 1Is.
4.4.3. Примеры функций правдоподобия
Оценивание параметра показательного распределения. Рассмотрим обсуждавшуюся в разд. 4.2.4 задачу оценивания среднего срока службы осветительных ламп. Первый шаг в методе правдоподобия заключается в том, что нужно выписать выборочную плотность вероятности для наблюдений. В нашей задаче соответствующей выборочной плотностью вероятности будет
fm(xu -*2> X3]X) = X3ехр(^-x^j. (4.4.6)
Следующий шаг состоит в подстановке наблюденных значений JCi = 2,6, X2 =1,9 и Xs= 1,5 в (4.4.6), в результате чего получается функция правдоподобия.
Z(X) = X3exp(-6A). (4.4.7)
150
Гл. 4. Введение в теорию статистических выводов
Третий шаг заключается в построении графика функции правдоподобия, который показан на рис. 4.2. На четвертом шаге из функции правдоподобия извлекается и кратко суммируется информация. В настоящем разделе мы опишем очень простой способ выполнения этого шага. Более детальные способы описания функций правдоподобия будут приведены в разд. 4.4.5.
В отличие от функции правдоподобия (4.4.1) функция правдоподобия (4.4.6) асимметрична. Рис. 4.2 показывает, что она круто возрастает от Я = 0 до своего максимума при Я = 0,5, а затем относительно медленно стремится к нулю при Я—>-оо. Значение Я = 0,5
p
Рис. 4.5. Функции правдоподобия для биномиального распределения (нормированные) .
является наиболее правдоподобным, или вероятным, значением для этих трех наблюдений. Оно называется выборочной оценкой максимального правдоподобия Я параметра Я. Значения Я = 0,1 и Я = 1,4
