Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 2.2
Разложение Фурье среднеквадратичного значения сигнала, представляющего
ионосферные данные
Источник m m Вклад в среднеквадратичное значение
Среднее значение 0 -3,667 0 3,667 180° 13,44
Основная гармо- 1 -0,475 '5,584 5,604 85 62,81
ника
2-я гармоника 2 -2,250 -7,073 7,422 -72 110,17
3-я гармоника 3 -1,250 -0,250 1,275 -11 3,25
4-я гармоника 4 -0,667 0,577 0,882 41 1,56
5-я гармоника 5 -1,775 -0,334 1,806 -11 6,52
6-я гармоника 6 -3,500 0 3,500 0 12,25
Полное количество 210,00
Теорема Парсеваля. Среднеквадратичная величина, или средняя мощность, сигнала sr равна
1 ' ЛГ 2
г = —п
Используя (2.1.3) и свойства ортогональности (2.1.5), можно убедиться в том, что эта величина записывается в виде
п — 1 п—1
2 s2r = Rl + 2 2 Rm + Rl, (2.1.11)
r = —n m = l
что является частным случаем теоремы Парсеваля. Другими словами, эта теорема утверждает, что среднеквадратичное значение сигнала sr, или средняя мощность, рассеиваемая сигналом sr, может быть разложена на составляющие', даваемые каждой гармони-
2.1. Введение
39
кой. Для нулевой и п-я гармоник вклад равен R2 (щ = 0, т = п),
а для т-й гармоники (тфО, тфп) средняя мощность равна 2R2 .
Более удобной мерой является среднеквадратичное значение сигнала sr относительно среднего R0. Оно просто равно дисперсии
л —1 Л—1
а2 = -Ж 2 (sr-Rof = 2 ^Rl+Rl, (2.1.12)
г = —л т = \
или, в терминах электротехники, средней мощности переменного тока.
Разложение среднеквадратичного значения Sr для ионосферных дан- _^00. ных приведено в табл. 2.2. Мы ви- 1 дим, что среднее значение, основная | и вторая гармоники составляют око- С JiO 89% всей среднеквадратичной § gg суммы, что указывает на то, что дан- | ные очень хорошо приближаются ^ с помощью модели "tr
sr =-3,67 + 11,2 cos -^ + 85° + I
+ 14,8 cos (^--72°
40
є
Разложение среднеквадратичной ,§¦ суммы можно представить, нанеся | на график среднюю мощность rap- J 20 моники против частоты этой rap- g.
«о «а
D
Рис. 2.2. Линейчатый спектр Фурье (периодограмма) .
1
12
1
1
12
Периоды в час
моники. Такой график называется линейчатым спектром Фурье; для ионосферных данных он показан на рис. 2.2.
Комплексные ряды Фурье. Приведенные выше формулы громоздки в обращении, поэтому для удобства в работе с ними лучше выразить сигнал sr через коплексные амплитуды Sm, где
+if„
Sm = Rme'J'm = Ani-jBm, j< Таким образом, (2.1.3) можно записать в виде
я-1
1.
Sme
j (2%mt/NA)
(2.1.13)
(2.1.14)
40
Гл. 2. Анализ Фурье
где S_m = S^, причем звездочка означает комплексное сопряжение. Аналогично формулы (2.1.6) и (2.1.7) переходят в
Sm = IT 2 sre~Ji2%mrlN), -я<то<л-1. (2.1.15)
г = —л
и теорема Парсеваля (2.1.11) записывается как
і 2*2= 2 I5J2- (2.1.16)
т = —п т = —п
Следовательно, вклад в среднеквадратичную сумму, вносимый членом 2R^n в (2.1.11), разделяется в (2.1.16) на две части, каждая из
которых равна \Sm\z = R2 ; одна соответствует частоте mfi, а другая — частоте —mfi.
Во всей этой книге окажется удобнее оперировать с комплексными преобразованиями. Получаемые при этом формулы можно привести к вещественному виду, взяв действительную и мнимую части. Например, беря действительную и мнимую части от (2.1.15), получаем синус- и косинус-преобразования (2.1.6) и (2.1.7).
2.1.3. Ряды Фурье
Предположим, что нам нужно получить представление Фурье для непрерывного сигнала на интервале от —Г/2 до Т/2. Заметим, что если в выкладках предыдущего раздела интервал отсчета Л устремить к нулю, то выбранные точки сигнала sr будут все полнее
прослеживать непрерывный сигнал s(t). Непрерывный сигнал s(t), на который накладываются условия, чтобы он проходил через выбранные точки сигнала sr, должен при этом совпадать с s (t), и поэтому в этом предельном случае представление Фурье s (г) будет точным представлением сигнала s (t) на интервале от —Т/2 до 7"/2.
Коэффициенты Фурье Sm, определяемые в (2.1.15), можно переписать в виде
= Ж 2 SM-'*""""". (2.1.17)
г = —п
и если Д-*-0 и N-уоо, так что N- А = Т, то гA-W, srA->~s(t)dt и сумма (2.1.17) стремится к интегралу
Г/2
5m=_L J в^)е-1(2кШ17) dt. (2.1.18)
— Г/2
2.1. Введение
41
Аналогично (2.1.14) стремится к
OO
«(о= 2 sj
(2.1.19)
Теорема Парсеваля (2.1.16) теперь переходите
(2.1.20)
— 7/2 т = — оо
поскольку (2.1.16) можно записать в виде
л-1 л-1
^2^= 2 isj2
г = л т = —п
и s2 A -»-s2 (t) dt, когда Д->0 и N-^oo. Уравнение (2.1.20) утверждает, что средний квадрат непрерывного периодического сигнала s (t) можно разложить на бесконечное число вкладов от гармоник fm = tnjT(—оо </л < + оо) основной частоты 1/Т гц. Уравнение (2.1.19) называется представлением функции s (t) в виде ряда Фурье на интервале —T/2^t<T/2. Заметим, что хотя приведенные выше рассуждения являются эвристическими, они могут быть строго обоснованы.
До сих пор было показано, что с помощью тригонометрических рядов можно представить два типа сигналов. Сигналы первого типа Sr состояли из конечного числа JV ординат, отстоящих на А сек друг от друга. Сигналы этого типа можно было бы представить на данном интервале с помощью непрерывного сигнала s(t), образованного jV гармониками основной частоты 1//VA гц. Максимальной из присутствующих частот является 1/2А гц, и поэтому про сигнал
