Понятие массы в классической и современной физике - Джеммер М.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема D. Если теорема сохранения импульса представляет собой L-ковариантное предложение, то масса не может быть независимой от скорости.
Доказательство. Рассмотрим идеально неупругое столкновение двух одинаковых тел, движущихся по направлению оси X в системе отсчета R с равными и противоположно направленными скоростями Ui = U1 a U2 = —и.
11 Norman Campbell, «Philosophical Magazine», 21, 626—630 (1911).
12 Richard С. Tolma n, Non-Newtonian mechanics, the mass of a moving body, «Philosophical Magazine», 23, 375—380 (1912).
13 Paul S.Epstein, Uber relativistische Statik, «Annalen der Physik», 36, 779—795 (1911). Вывод формулы (18) дается в разделе 4 этой статьи. Современный вариант вывода Эпштейна см. в: П. Г. Бергман, Введение в теорию относительности, M., 1947, стр. 124—130.
14 Ferencz Juttne г, Die Gesetze des Stosses in der Lorentz-Einsteinschon Relativtheorie, «Zeitschrift fur Mathematik und Physik», 62, 410—433 (1913).
:168 После удара их скорости равны нулю. По отношению к системе отсчета Rf1 движущейся относительно R по направлению общей оси х со скоростью V1 скорости двух тел будут равны до столкновения
uI = I-UVIс* ' = 1+UVlc2 ' (19)
и после столкновения
U1 = U2=-V1 (20)
как это следует из уравнений преобразования Лоренца. Допустим, что масса не зависит от скорости. Из этого допущения и L-ковариантного закона сохранения мы получаем для R'
IUfU1 + TnfU2 = VfitU1 + mfu2. (21)
Подставляя из уравнений (19) и (20) и сокращая не зависящую от скорости массу mf, будем иметь:
— 217. (22)
1—uv/c* ^ 1 +UV/с2 Полагая v = и, получаем
TW=2"- (23)
Последнее выражение показывает, что наше допущение о независимости массы от скорости несовместимо с Z-кова-риантностью теоремы сохранения.
Таким образом, теория относительности оказалась перед выбором: либо отбросить Лоренц-ковариантную теорему сохранения линейного импульса, либо принять вывод, что масса есть величина, зависящая от скорости. Вторая альтернатива оказалась более удобной в методологическом отношении.
В развитии этих идей до сих пор еще не получило полного применения понятие четырехмерного вектора, посредством которого теория относительности и в особенности релятивистская динамика могут быть представлены значительно яснее и философски более удовлетворительно, как мы знаем об этом со времени опубликования в 1908 году работы Минковского, составившей эпоху15. На языке
16 Г. M и н к о в с к и й, Пространство и время, «Успехи физи-
ческих наук», т. 69, вып. 2, 1959, стр. 303—320.
:169 четырехмерных векторов — и это представляет собой третью стадию из упомянутых выше — динамические свойства частицы характеризуются при помощи так называемого вектора энергии-импульса Pi1 который постулируется, во-первых, всегда параллельным четырехмерной скорости UiI = dx/dx, dy/dx, dz Idx1 d (id) Idx, где dx есть элемент пространства-времени] и, во-вторых, постоянным во времени для свободной частицы. Эти условия предполагают, что
Pi = Tn0Ui1 (24)
где т0 является инвариантом, так называемой собственной массой (или массой покоя) частицы. На основании соотношения dx = dt (1 — ?2)1/2 пространственными компонентами P1 будут
___ т0 dx/dt р2== mO dy jdt ^3 __ т0 dz/dt ^54 (1 —?2)l/2 ' (1—?2)1/2 ' (1—?2)1/2 или в трехмерном обозначении
P =-^Чт-v. (26)
Отождествляя — как в классической механике — коэффициент при скорости в выражении импульса с массой частицы, мы получаем
т =-!uo (27)
(1 —?2)Va v '
Можно также дать формальное доказательство сохранения (постоянства во времени) собственной массы свободной частицы (в отсутствии взаимодействия). Так как
dPl dm0 пі dUi __ n
то умножение на Ui дает
^LUiUi+ Jn0^-Ui = 0. (29)
Второе слагаемое в левой части этого уравнения обращается в нуль благодаря постоянству длины четырехмерного вектора. Следовательно,
^L = 0, (30)
:170 или, так как dr = dt (1 — ?2)1/2,
dm0 Q
(31)
Вывод уравнения (27) с помощью исчисления четырехмерных векторов раскрывает, как это сделано в только что рассмотренном случае столкновения частиц, концептуальный характер зависимости массы от скорости, имеющий смысл определения*. Именно новое соотношение между пространством и временем, другими словами, кинематика Лоренца — Минковского приводит к своеобразной функциональной зависимости импульса от скорости и, следовательно, к зависимости массы от скорости. Это не новое свойство материи, которое было открыто, и не таинственная или скрытая черта природы, обнаруженная наукой.
И все же не подвергалось ли релятивистское уравнение (27) экспериментальной проверке? Действительно, поскольку электромагнитная теория Абрагама вела к функциональной зависимости массы от скорости и эта зависимость отличалась от соответствующей зависимости в теории относительности, было предпринято большое число экспериментальных исследований начиная с 1906 года с целью выбора между конкурирующими теориями.
Как мы уже видели 16, в электромагнитной теории материи зависимость поперечной массы от скорости дается формулой
