Понятие массы в классической и современной физике - Джеммер М.
Скачать (прямая ссылка):
:169 Глава XII
ПОНЯТИЕ МАССЫ В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
С точки зрения теории относительности поразительным образом обнаруживается, как инертная масса внутренним образом соотносится со всей структурой физической теории. Так как специальная теория относительности исключает из своего рассмотрения какие бы то ни было ссылки на гравитационные явления, предметом настоящей главы будет только инертная масса.
Для более глубокого проникновения в релятивистское понятие массы вернемся прежде всего к некоторым классическим чертам этого понятия. С этой целью мы примем элементарное (дорелятивистское) различие между сохранением (во времени) и инвариантностью и ковариантностью по отношению к преобразованиям координат, несмотря на тот факт, что законы сохранения в конечном счете выражают инвариантность по отношению к некоторым операциям симметрии. (Сохранение импульса или момента импульса есть следствие инвариантности гамильтониана по отношению к трансляциям или вращениям в пространстве, сохранение энергии следует из инвариантности при трансляции во времени, сохранение заряда — из инвариантности по отношению к градиентным преобразованиям и т. д.)
Будем считать, что величина Q «сохраняется», если численное значение Q не зависит от времени. Будем называть функцию F инвариантом по отношению к группе преобразований T (кратко — Г-инвариантом), если значение F не изменяется при произвольных преобразованиях T1 совершаемых над аргументами F. Наконец, пусть P (х, г/, Z1 . . .) будет предложением, содержащим параметры X1 г/, Z1 . . ., и пусть эти последние подвергаются произвольным преобразованиям, принадлежащим группе преобразований S1 так что х становится Xt1 у становится
:160 у', z становится z\ Если предложение Pf (a:', у\ z') имеет ту же самую логико-математическую структуру в xf, у', z\ . . какую P (х, y1 Z1 . . .) имеет в X1 у, Z1 . . то мы назовем P' формальным инвариантом, или ковариантом по отношению к группе преобразований S1 или, кратко, S-ковариантом. Мы полностью сознаем известный недостаток логической строгости по отношению к представленной здесь терминологии, но ради простоты не будем подвергать большей формализации наши дальнейшие рассуждения
Начнем с некоторых исторических замечаний. Одним из фундаментальных предложений классической механики является теорема сохранения импульса, ее выполнимость следует из второго и третьего законов движения Ньютона. Ограничиваясь системами из двух тел — из Fi — TniCLi и F2 = т2а2 — вместе с принципом действия и противодействия Fi = —F2 получаем
UliCLi + IU2Cl2 = О
или — после интегрирования —
TnlUi + Tn2U2 — const.
Последнее выражение представляет собой запись принципа сохранения импульса (т, U1 а я F обозначают соответственно массу, скорость, ускорение и силу).
Ньютон, ссылаясь на этот принцип мимоходом, как на закон сохранения центра тяжести, в пояснении 4 к своим законам движения пишет:
«Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно» 2.
Хотя Лагранж в своей «Аналитической механике»3, ссылаясь на приведенное место, приписывает Ньютону
1 Более строгую трактовку см. в: J. С. С. McKinsey and P. S и р р е s ,On the notion of invariance in classical mechanics, «British Journal for the Philosophy of Science», 5, 290—302 (1955).
2 И. Ньютон, Математические начала..., стр. 47.
8 Ж. JI а г р а її ж, Аналитическая механика, т. I, M., 1950, стр. 316.
11—786
161 открытие этого принципа, известно, что уже Декарт' установил его (правда, не в полной формулировке) и что Гюйгенс, Мариотт, Валлис и Врен использовали этот принцип в своих исследованиях удара тел 5. Д'Аламбер и в особенности Лагранж полностью сознавали фундаментальное значение этого принципа для ньютоновой механики. Этот принцип имеет значение и для махов-ского определения массы, как мы уже видели выше.
После краткого отступления вернемся теперь к доре-лятивистскому понятию массы. Механика Ньютона утверждает постоянство массы как для отдельного тела, так и для системы тел, а также ее инвариантность по отношению к преобразованиям Галилея. Увеличение или уменьшение массы всегда интерпретировалось в классической физике как приток и отток материи, что является, конечно, естественнонаучным выражением принципа неразрушимости материи при отождествлении материи и массы, как уже неоднократно отмечалось.
С целью дальнейших ссылок и в отличие от новых данных теории относительности мы произведем формальное доказательство некоторых теорем, относящихся к дореля-тивистскому понятию массы и его связи с группой преобразований Галилея G:
X-X-Vt1 у' = у, Z =Z, V = t. (1)
Теорема А. Масса является G-инвариантом.
Доказательство. Наше доказательство основывается на определении массы как отношения силы к ускорению. G-инвариант силы есть следствие того факта, что ньютоновские силы представляют собой функцию только расстояния, а расстояния в свою очередь являются G-инва-риантами (х'2 — X1 = X2 — Xi, . . .). (^-инвариантность ускорения непосредственно следует из уравнений (1).
