Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джакалья Г.Е.О. -> "Методы теории возмущений для нелинейных систем" -> 84

Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем — М.: Наука, 1979. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): metoditeoriivozmusheniya1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 109 >> Следующая

различного рода "неприятностям". Вопрос теперь заключается в том, как
можно описать движение в окрестности резонансной области (критической
точки).
Сначала мы изучим системы с одной степенью свободы, т. е. системы,
которые в принципе сводятся к квадратурам. Следовательно, это
рассмотрение служит только для целей дальнейшего обобщения результатов.
Итак, пусть дан гамильтониан
Н = Н0(р) + #! (р, q) + Н2(р, q) +...
со скалярными величинами р, q, аНк=0(гк),Нк=^Ак (р) exp (ivq).
v
Предполагается, что функция Н аналитична в некоторой области D фазового
пространства (р, q) и что при е = 0 имеем dhHoJdph - 0 при р - ро е D
и к = 1, ..., тп (тп - конечное
число).
Мы также предположим, что при е ф 0 гамильтониан имеет точку минимума, т.
е. можно решить систему
дН(р, д) = 0 дН(р. q) _ Q ф 51.
dq ' dp v '
и ее гессиан будет отличен от нуля в окрестности некоторого решения этой
системы (5.5.1). В силу сделанных предположений система (5.5.1) имеет по
крайней мере два решения: максимум и минимум в области D1). Пусть точка
минимума определяется
') Это следует из периодичности гамильтониана относительно q (прим.
перев.). ,.
256
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
координатами (р, q), где
Р = Ро + вр\ + е2Р2 + • • -, Щ = Bqi + е2дг + е3д3 + • •. (5.5.2)
Из аналитичности функции Н в области D следует, что существует такое 6 =
6(Я, е) > О, что при |р-р0| ^6, рЕD, и 0^ *? q <С 2л выполнены
неравенства
где s > 0, а ?2о не зависит от е, 6 и к = 1, ..., т.
Наша цель заключается в исключении из гамильтониана переменной q, т. е. в
приведении к нормальной форме в окрестности особой точки ро- Эта цель
будет еще больше расширена в следующих параграфах.
Пусть каноническое нормализующее преобразование определяется производящей
функцией
где функция AS определена в некоторой области ?2 по Р при 0 < q < 2л и
имеет порядок 0(ег) (г>0). Величина г зависит ют s, от порядка а
наинизших членов в Н, содержащих угловую переменную q, и от т.
Предполагается также, что новый гамильтониан К(Р) может быть записан в
виде
где функция АК(Р) определена в области ?2 и имеет некоторый порядок 0(ев)
(?S>0). Все вещественные числа s, г, ?S априори неизвестны и должны быть
определены по числам а, т.
Уравнение энергии
так что, как и обычно, К0{Р) = Но{Р). Следующее приближение в S (в AS)
надо использовать для уничтожения q в Ha[P,q), если предполагается, что
все функции Н\, ..., На-1 не зависят
(5.5.3)
S(P, q) =Pq + AS(P, q),
K(P)=K0(P)+AK(P),
(5.5.4)
разложенное в ряд Тейлора, дает
[ifff + ¦¦¦=Ко(Р)+АК(Р)'
(5.5.5)
5 НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕЗОНАНС
25?
от q. В силу сделанных предположений получаем, что прп достаточно малых е
функция AS должна удовлетворять уравнению
\"
А=1 *'¦ \ дя
где "5* 1, ттг 1 - заданные целые числа. Кроме того, положим AK = Ki(P)
+...+ Ка-1(Р) +Ка(Р) +..., (5.5.7)
где
Kj(P) = Hj(P) (/ = 1, ..., а-1)'.
Из уравнения (5.5.6) следуют соотношения
(т + 1 - k)s + kr = a (k=l, . .., т), (5.5.8)
так что необходимо выполнение равенства
г = s = -(5.5.9)
т + 1
которое является решением уравнений (5.5.8) для всех к.
Эти условия определяют то, что мы называем областью колебаний, т. е.
область, содержащую центр и ограниченную замкнутой сепаратрисой.
В случае а = 1 и т = 1 мы получаем классический результат r-s= 1/2, т. е.
разложения S(P, q) и К(Р) ведутся по степеням квадратного корня из малого
параметра в. Идея разложения по степеням квадратного корня очень стара и,
как уже упоминалось выше, вытекает из теории Вейерштрасса об умноженин
степенных рядов. Она естественным образом появилась из работ Бохлина [13]
о колебательных движениях. В нашнх работах мы в основном полагали, что
вблпзп ро функция Н ведет себя как
II ~ {p-p0)m+lf(p, Я) + eg{p. q).
гДе fiPo, q) ФО. В классической постановке т = 1.
Хотя это и не является необходимым, мы опишем простейший и в
действительности наиболее обшпй случай а, = 1, т = 1, т. е. можно
записать
S - Pq + Si;2(P, q) S\(P, q) -К ¦
К = H0{P)+Kl (Р) + К3/2(Р) + К2(Р) +.
17 г. Е. О. Джакалья
258
ГЛ V. РЕЗОНАНСЫ
так как легко провершь, что К0 (Р) = Н0(Р), К\,2{Р) =0. Из
(5.5.5) следует, что уравнение первого порядка для определения функций
51/2 и Кх имеет вид
где штрихи означают дифференцирование по Р.
Для определения функции К\ (Р) мы потребуем, чтобы точка (р, q) была
неподвижной точкой преобразования, определяемого функцией S. Так как
функция #i (Р, q) непрерывна и периодична по q, то мы можем найти К\ в
виде
для всех Р е Q. Ясно, что так как функция Н аналитична, то Я~Я\ (Р}=0(?)
или q - q\ {ро) = О(г). Пусть
так что, очевидно, функция Fi(P, q) положительна при Ре1 Q и 0 < q < 2я,
за исключением значений q = qi (Р), при которых она равна нулю. Функция
S\/2 теперь определяется из уравнения Бохлина
При q = qi{P) п Р = р0 получаем, что dSi/zldq = 0.Так как в этом
приближении
то из предыдущего равенства находим, что рассматриваемая неподвижная
точка является центром, если S1/2 удовлетворяет равенству dSi/2/dP = 0
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed