Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
системы уравнений
У = Ay + q{t,y, г) (5.4.15)
при условии, что функции q - почти-перподические относительно t, а
система у = Ау-некритическая, т. е. все собственные числа матрицы А имеют
ненулевые вещественные части. Рассматриваемый здесь случай очевидно
соответствует критической системе, хотя можно найти такое преобразование,
которое делает все элементы диагональной матрицы вещественными. Для
некритических случаев можно показать существование почти-пе-риодических
решений (относительно t) уравнений (5.4.15) с теми же частотами, что и у
функции q. Для динамических систем этот результат очень важен при
изучении возмущений поч-ти-периодических решений. Если получающаяся
вариационная система нормализована до членов второго порядка, и в
результате получается некритическая система, то почти-периодические
решения будут существовать в соответствующим образом ограниченной
окрестности исходного решения. Аналогичные проблемы возникают и при
исследовании устойчивости по Ляпунову, структурной устойчивости
относительно возмущений, а также при изучении свойств инвариантных (или
интегральных) многообразий. Основные результаты в этой области получили
Дили-берто [27], Боголюбов и Митропольский [12]. Основные результаты,
касающиеся условно-периодических решений, получили Малкин [56, 57] и Розе
[71].
5. Нелинейный резонанс
До сих пор мы имели дело с задачей построения решения в окрестности
положения равновесия, начиная эти построения с линейных гармонических
колебаний, соответствующих нормальным колебаниям. Теперь мы займемся
более общей задачей, т. е.
254
ГЛ V РЕЗОНАНСЫ
будем считать исходный осциллятор нелинейным в том смысле, что частоты
зависят от амплитуд. Как упоминалось выше, некоторые аспекты этой
проблемы рассмотрел Пуанкаре [68], осуществивший идеи, которые предложил
Бохлин [13].
Изучение нелинейного осциллятора и выяснение эффектов влияния на него
возмущений потребует точного знания всех особых точек фазового
пространства, определения сепаратрис, седел и центров, а также областей
колебательного или вращательного характера движения. Разумеется, все эти
понятия широко известны, и их подробное описание можно найти, например, в
работах [64, 74, 54, 65, 28, 2]. Эти книги являются основными также и для
большинства других обсуждаемых в этой главе вопросов, хотя работы Мозера
[61-63] наиболее близки к излагаемым здесь вопросам. Ряд ценных замечаний
относительно рассматриваемых вопросов содержится в работе Кинера [52],
но, к сожалению, она малодоступна.
Рассмотрим сначала автономную гамильтонову систему, определяемую
гамильтонианом Н (q, р) в некоторой области D фазового пространства. В
области D функция Н имеет конечное число особых точек (типа центр или
седло). Здесь сепаратрисы определяются просто как траектории, соединяющие
(в предельном смысле) две седловые точки, которые могут в конечном счете
совпасть. Во внутренней по отношению к сепаратрисе области всегда
существует центр. Для систем с числом степеней свободы, большим единицы,
некоторые из этих понятий сразу же обобщить нельзя. В предыдущих
параграфах мы описали получение решений в виде рядов (в конечном счете,
только формальных), описывающих движение в окрестности устойчивого
положения равновесия. Здесь мы до некоторой степени расширим задачу,
получив формальные ряды, описывающие решение в окрестности центра (т. е.
в колебательной области) и в окрестности вращательного движения (т. е. во
вращательной области). В первом случае одна или более угловых переменных
ограничены теми или иными пределами в общем интервале, меньшем чем 2я, в
то время как во втором случае все угловые переменные не-ограничены.
Мы предположим, что гамильтониан можно разбить на конечное или счетное
число частей, т. е.
Н = Но -f- Hi -j- Н2 -j-...,
где для простоты будем считать Hk= 0(ен), хотя наличие "малого параметра"
е несущественно. Тем не менее, его использование упрощает вывод многих
формул. Мы также будем рассматривать следующие предположения.
5. НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕЗОНАНС
255
а) Движение с функцией Гамильтона Но является интегрируемым и,
следовательно, если надо, ее можно записать в виде функции только
импульсов (или координат).
б) Функции Hh(k> 0) состоят из конечного числа членов вида
= 2 Af (р) exp i (vi<7i + ... + v"qn).
в) Множества инвариантных многообразий систем уравнений с функциями
Гамильтона Н и Но соответственно не сильно отличаются друг от друга.
Другими словами, предполагается, что существует непрерывное
преобразование, переводящее одно множество в другое и такое, что при е->-
0 оно становится тождественным.
Последнее предположение, по существу, совпадает с утверждением теоремы
Колмогорова, в которой, разумеется, должна быть еще исключена линейная
зависимость между частотами движения, соответствующего гамильтониану Но.
Так как эти частоты предполагаются непрерывно зависящими от амплитуд, то
можно исключить такое множество начальных условий, которое приводит к
