Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяет уравнению
(iD °\ n.l 0 О \(дАH\i
Z~[o -iDjZ+ l\-I о) (о Д-1]! )
или (к = 1, ..., га)
zh = mhzk + fk (z), zn+'t = - mkzn+k + fn+k (z),
(5.4.4)
где
, 2i dAH , 2i d&H
-' 'n+h = ~ (5.4.5)
"ft °"n+k "ft ozh
Следует заметить, что уравнения (5.4.4) можно переписать
250
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
в виде (к = 1, ..п)
2i дН • 2i дН
Zn+k~~^~K' (5Л6)
ГД0
Я =у wfczfczn+fc ~Ь .
В любом случае уравнение для фундаментальной матрицы решений уравнений
(5.4.4) можно записать так:
2 = AZ + <D(Z), (5.4.7)
где Ф (Z) - матрица, элементами которой являются ряды из однородных
полиномов степени не ниже 3/2. В используемых здесь обозначениях
Ф = Фз Ф4"Ь. • .
Теперь можно представить метод усреднения, описанный в предыдущем
параграфе, с помощью следующей процедуры последовательных приближений.
Пусть В - постоянная диагональная матрица с неизвестными элементами %h (к
= 1, ..2п). Тогда можно положить
5=diag (гть ..., it", - in, ..., - гт")',
где неизвестные постоянные п, ..., т" должны определяться в результате
использования метода усреднения. Определим дополнительное уравнение
Z = BZ + G(Z), (5.4.8)
где
G[Z) = Ф(Я) + (A -B)Z. (5.4.9)
Видно, что при G(Z) = 0 решение уравнения (5.4.8) имеет вид
Z'0) = етС, (5.4.10)
где С - постоянная матрица, которую можно положить равной •единичной
матрице.
Введем преобразование
Z = eBtY,
так что уравнение (5.4.8) переходит в уравнение
Y = e~BtG(eBtY), (5.4.11)
где У<0) = const - приближение нулевого порядка. Вообще говоря, нельзя
считать, что в интеграле от функции е-1,!С?(ев'У(0))
4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОБЛЕМЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
251
не будет содержаться секулярных членов. Надо считать, что секулярные
члены будут присутствовать в таком интеграле наряду с условно-
периодическими функциями времени t (предполагается, что величины п, ...,
хп линейно независимы на множестве целых чисел).
Тогда определим операцию усреднения
т
Р [М (*)] = НшJ м (0 dtt
о
так что матрица
M(t) -P[M(t)] =(J - P)M{t)
является условно-периодической или, в исключительных случаях,
периодической. Таким образом, мы получаем уравнение
уч> = (/-P)e-BiG(eB,F<°>),
интегрирование которого дает условно-периодическую матрицу. В общем
случае мы определим процедуру последовательных приближений и усреднения
формулой
y(m) = у(0) + j _ Р) e~mG (emY(m~l)) dQ. Возвращаясь к матрице Z,
получаем
Z(m) = eBtY(0) + eBt f (/- P) e~m [Ф (Z(m_1)) +(A - B) Z(m_1)] dQ.
(5.4.12)
Если процедура сходится, то последовательность Z(m) будет иметь предел Z,
удовлетворяющий интегральному уравнению
t
Z = eBtY0) + eBt f(S-P) e~m [Ф (Z) + (A - B) Z] dQ.
Дифференцируя последнее уравнение, получаем
Z = ?eBfF(0) + В (Z - eBtYw) -f eBt(J - P) e~Bt [Ф(Z) + (A - B) Z] или
Z = AZ + <&(Z) -eBtP{e-Bt[<&(Z) + (A-B)Z]}, что является решением
уравнения (5.4.7) тогда и только тогда,
252
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
когда выполнено равенство
P{e-Bi[<P(Z) + (4-B)Z]} = О
или
т
lim f е~в\Ф (Z (")) + (А - В) Z (")] dt = 0. (5.4.13)
г- Т J
До сих пор не была показана ни сходимость, ни расходимость метода
последовательных приближений, определяемых уравнением (5.4.12). Теорему о
сходимости, доказанную Чезари [15] и Хейлом [40] при более общих
предположениях для определения периодических решений, в этом случае не
так просто обобщить, так как принцип сжатия, который позволяет применить
теорему Банаха о неподвижной точке, здесь очевидно не выполняется.
Действительно, полнота пространства всех условно-периодических функций
очевидно не имеет места. В этом случае похоже, что можно применить
непосредственный путь доказательства, аналогично тому, как этот было
сделано Чезари [15]. По нашему мнению, этот метод будет сходящимся, по
крайней мере для множества частот coi, . .., ш", удовлетворяющих
соответствующему условию иррациональности и, возможно, за исключением
некоторого конечного числа соотношений между со*, которые привели бы к
классической задаче о параметрической неустойчивости (см. [60, 31, 37]).
В покомпонентной форме уравнение (5.4.12) можно переписать так:
+ eiXkt f (/ - P) e~i%b* [ф" (Z(M) +
+ i (coft - xk) Z{h7~!)] dQ,
а условием (5.4.13) определяются постоянные Z(hj , и оно должно быть
сведено к системе уравнений относйтельно неизвестных Ti, ..., Тп,
выражающихся через ом, . .., со". Эквивалентные соотношения для исходной
системы (5.4.4) имеют вид
7Ш) = ei4tz(0) + (/ _ р) -ггкъ yk +
+ i (ak - Tfe) zir_1)] dQ,
+ e-^j (/ - P) [fn+k (z^) -
- i(ak- rk) 4+I1'] dQ,
5. НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕЗОНАНС
253
или для вектора z
zm = eBXz(0) + евг j e-iB0 ^ (Z(m-D) + (Л - В) z(m-l>]
tf0.
(5.4.14)
Тот факт, что близкие к линейным целочисленные соотношения между
частотами ом, ..., со" могут привести (и в самом деле приводят) к
появлению если и не нулевых, то по крайней мере малых делителей,
немедленно следует из результата применения оператора P[f{t)] к функции
/(?) = ехрi{k\y\ + ¦ • •
... + к"уп), где ук= со^+ yl (к = 1, ..., п).
Хейл (см. [49.2]) доказал существование почти-периодиче-ских решений
