Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джакалья Г.Е.О. -> "Методы теории возмущений для нелинейных систем" -> 81

Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем — М.: Наука, 1979. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): metoditeoriivozmusheniya1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 109 >> Следующая

самой точке X = Xt такой, что
однако в общем случае этого не произойдет. Таким образом, решение
получается введением на каждом шаге произвольной функ-
на следующем шаге. Возможно также, что "секулярная" часть функции Hz или
некоторого другого приближения окажется равной нулю. В этом случае
приходится вводить секулярную часть из более высокого приближения,
увеличив, таким образом, размеры соответствующих членов в рядах, что, тем
не менее, будет полезно во многих задачах.
Если H3s = 0, то, подставляя вместо этой функции функцию Ни, получим
вместо (5.3.14) формулу
порядка малости. Тем не менее, такие случаи и случай, когда #з содержит
критический аргумент, являются наилучшими для применения нижеописываемого
метода, согласно которому исходная система сводится к системе с одной
степенью свободы, где в качестве единственной появляющейся угловой
переменной берется критический аргумент. Следовательно, формально система
сводится к квадратурам.
В рассматриваемом случае рассмотрим сначала каноническое преобразование к
новым переменным х', у' по формулам
ции Fp (X, fy) в Sp (X, у), которая должна определяться
дН^ (*)¦)-! дХи
так что в действительности В$ (X) является функцией второго
Ук^Ук (fc=l...п - 1), уп =Mi+ ••• + ]пУп,
xh=xh + jkx'n (к = 1, ..п - 1), xn=jnxn Цпф 0).
(5.3.16)
В новых переменных гамильтониан приобретает вид
Н - (д±Х\ 0)п-\Хп-i 2 ^3 ('*') Н- -^"з -^4 • • ¦ >
а
где вЯ3 собраны члены, не содержащие только критический аргумент Уп•
Записанная в новых переменных система является вырожденной. Если все А%
(х') не равны тождественно нулю и Н3 имеет нулевую секулярную часть, то
можно исключить из
3. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМАЛЬНЫХ РЯДОВ
247
гамильтониана только углы у и ..., уп-и т. е. углы, соответствующие
имеющимся в Н2 импульсам. Теперь, опуская штрихи при переменных, функцию
Н можно записать в новом виде
Я = а1х1 + ... + соп-\ХП-1 + 2 Аз И exp iayn +
а
+ HUx,y) + Ht[x,y)+..., (5.3.17)
где функция Я*3 может быть записана следующим образом:
Я3 = 2^-3 (*) ехР + • • • + vn.J/n)l!
V
при этом целые числа vi, ..., v"_i не обращаются одновременно в нуль,
если vn ф- 0. Следовательно, в силу сделанного предположения о
единственности набора ненулевых одновременно целых чисел, удовлетворяющих
соотношению (5.3.1), условие vicoi + ... +v"co" = 0 не может быть
выполнено ни для одного набора целых чисел v= (vi, ..., v") из. Яз.
Теперь только необходимо потребовать, чтобы новый гамильтониан К,
записанный в новых переменных X, Y, представлялся рядом
К=,К(Х,?п)=К2 + К3 + К,+ ...,
вообще говоря, формальным, так что Х\, ..., Xn-i являются постоянными, и
система имеет единственную степень свободы. Производящая функция опять
определяется формальным рядом
S = XTy + S3(X, ^) + S4(X, у)+ ...,
а соответствующее преобразование имеет вид
г - V | Юз | . у- __у. I д^э dSt
ч - + dyk + dyk + ¦¦¦' ~ Уь + W~k + щ + ¦ ¦ ¦ >
что, как и всегда, дает К2 = Ю1Х1+.. .+(on_iXn_i.
Рассмотрим тейлоровское разложение обобщенного уравнения Гамильтона -
Якоби
я(х + "# +9"+й;+-"
= s'Y ") + ...
fe=i
Принимая во внимание уменьшение порядка на две единицы при каждом
дифференцировании по X, для первых нескольких
248
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
приолижении получаем
п-1
+ и)=К3(Х, Уп),
h=l Ук
v' , V "Я:: !/) SS, . " ,т ,
Z "",,k + Z % -1 я*<*. У -
= К (X и N , дк3 (*' уп) ^3
Л4 (д, г/J -г а ,
П
Уп ds" I у (*. У) ^4 | IV Э2Яя (ЛГ, у) ад8 ад,
^ fe Ягл ^ дУъ 2 дХ.дХ, ду. ду. ^
fc=l ь k аЬ h}j h j *>k
k k *h
_ Tf (Y Tr 'I I dK^X'yn) dSi 1 а**з (X, "") ( dS3 \2 .
-Kb(X, yn) + --- - +T - +
, 9Kt(X, Уп) ds3
+ дУп dXn
На каждом шаге, очевидно, соответствующее уравнение можно записать в виде
П-1
Hl (*. У) + 2 Af (X) exp (ia"yn) = ЛГр (X, у"),
ft=l aP
(5.3.18)
где функция Яр обладает теми же свойствами, что и описанная ранее функция
Я3 в (5.3.17).
Определим функцию К$ в виде
ДГр (X, уп) = н;а (X) + 2 Af (X) exp (гсЛ/Д (5.3.19)
aP
где
h; = h;s(X) + h№(x, у).
Тогда функция Sp определяется как решение уравнения
71----------1
2%^г + я;р(х, у) = °.
h= 1
в котором в силу сделанного выбора функции Яр нет ни одного нулевого
делителя. Такая частичная нормализация может быть
4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОБЛЕМЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
2i9
осуществлена до приближения любого порядка, так что мы можем записать
новый гамильтониан в виде
К = П%">иХк + К3(Х, Yn) + ... +Кр(Х, Г") + 0(|Х|р+1), fe=i
и с точностью до О (| X |р+1) соответствующая система может быть
проинтегрирована в квадратурах.
4. Эквивалентность проблеме возмущения линейных систем
Легко установить связь между результатами предыдущего* параграфа и
классической задачей возмущения линейных систем, изученной в работах
Чезари [15], Хейла [40] и некоторых других авторов. Действительно,
рассмотрим уравнения (5.2.6), переписанные в виде
(:)=(-"?)(:)+(-" о)(ет. м*>
где АН = Hz + Hi +• • • Введем линейное преобразование
'"'Г:!)(") (5-42)
или обратное ему
ц\ 1 UD -iD\
)*> (5АЗ> где z - вектор размерности 2п. Отсюда следует, что z
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed