Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивости положения равновесия !).
Процедуру Цейпеля нельзя применить непосредственно без некоторых
предварительных рассуждений и аккуратного определения понятия "порядка
члена". Действительно, гамильтониан имеет вид
Н = 2 ahxh + + -(r)4 + • • ч (5.3.2)
h=l
где Нр = 0(8Р), как следствие того, что степень полинома Нр,
выраженного через х\, ..., равна р/2, а х} = О (б2). Отсюда
следует, что дифференцирование по переменным х понижает порядок члена на
две единицы, так что, например, полином
д*Нк(х,у)
-------р- (Pl + ¦¦¦ +Рп=Р)
имеет порядок 0(8i~2p). Тем не менее в уравнениях, получающихся из
обобщенного уравнения Гамильтона - Якоби, мы никогда не будем иметь
членов отрицательного порядка по б.
Производящая функция канонического преобразования (х, у) -> MX, Y)
S = Хту + 53 (X, у) + S4 (X, у) + .. • (5.3.3)
выбирается так, чтобы
хи ~ ~ %k + S3Vk -f- (5.3.4)
а нормализованный гамильтониан имеет вид
к (X) = 2 со А + кз (X) + К, (X) +... (5.3.5)
k
*) Это не совсем верное утверждение, так как полная система может быть
устойчивой и в случае нулевых чисел ">, т. е. если линейная система
неустойчива. См., например, [31*] (прим. ред.).
16*
244
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
На этом этапе все ряды считаются чисто формальными, за исключением ряда
(5.3.2), который является равномерно сходящимся.
После подстановки (5.3.4) в (5.3.2) и разложения в ряд Тейлора первые
несколько приближений будут определяться уравнениями
2со, ^2 + #3 (X, у) = Ка(Х), (5.3.6)
h h
^ + Я.(!,") = КЛХ), (5.3.7)
9S
k dXk ду
dSs . ^ дН3 (X, у) dSt
jU dyh ^ dXk dyk
ft j fe z yk dyJ ft dyk
= КЪ(Х). (5.3.8)
В нерезонансном случае формальное решение вообще не представляет никаких
затруднений. Действительно, так как
Яр (X, у) = 2 Af(X) exp i (vfo + ... + v&n), (5.3.9)
vP
где vp = (vf, .. ,,v"p), a A"f (X)- однородные полиномы степени pi2
относительно Xu ..., X", то отсюда, например, следует
К3(Х) = А°3(Х),
S3 = 2 (-^0 [* (viMi + •¦ • -Ь VnWn)] 1 X
\Р
X exp i (viуг -i- ... -vlyn) -|- F3 (X, 0), (5.3.10)
где F3,(X, 0)-произвольная функция, зависящая только от X. Ее можно
положить равной нулю. Это не повлияет на приближения более высоких
порядков, так как во всех уравнениях функции S3, S4, ... встречаются
только в виде своих частных производных по переменным у¦ Уравнения для
приближения любого порядка имеют одинаковый вид и решаются аналогично.
Теперь рассмотрим случай, когда имеется один (и только один) набор целых
(несократимых одновременно) чисел /1, ..., /", не обращающихся
одновременно в нуль и таких, что выполнено условие (5.3.1). В этом случае
может оказаться, что некоторые делители, встречающиеся в (5.3.10), равны
нулю, т. е. некоторый на-
(3 3 \
Vi, v") кратен набору (/ь ..., /"). Это обязательно
должно случиться лишь с конечным числом .членов какого-то при-
3 РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМАЛЬНЫХ РЯДОВ
245
ближения, так как функция IIР имеет конечное число членов при конечном р.
Тем не менее ясно, что при увеличении р рассматри-ваемые знаменатели
могут стать сколь угодно малыми. Для рационально независимых чисел со
сходимости можно добиться введением нижней границы соответствующих
резонансных соотношений, как это уже рассматривалось в главах III и IV.
Действительно, Уиттекер [75] упоминает пример, в котором ряды
оо оо л??г п
X1 X1 1 2
т - гса
п=1 т~\
при |?i| < 1, |<7г| < 1 и а иррациональном в действительности являются
сходящимися. Для рационально зависимых чисел <й рано или поздно должен
появиться нулевой делитель и, следовательно, в том виде, в каком он
использовался раньше, описанный способ нормализации применить нельзя.
В том случае, когда в функции Нз нет таких членов + . .. .. . + УпУп, чт0
viMi + • • • + v(r)Mn = 0, все угловые переменные по-прежнему можно
исключить, если только заметить, что функцию S3 можно записать в виде
(5.3.10), где произвольная функция F3 может теперь зависеть и от
критической комбинации (аргумента) jiyi + .. . + йУп, Т. е.
F3 = F3 НУг + ¦ ¦ ¦ + 1пУп)- (5.3.11)
Как легко проверить, произвольная функция, зависящая от такого
критического аргумента, не даст никакого вклада в уравнение (5.3.6).
Теперь уже произвольную функцию можно использовать для уничтожения любого
члена, содержащего критический аргумент (или кратный ему аргумент) в
следующих приближениях. Важная роль, выполняемая здесь следующими членами
по отношению к квадратичной форме в преобразовании, которое
рассматривается в теореме Биркгофа о неподвижной точке, также проявляется
и в функции Гамильтона.
Действительно, положим
F3 (X fy) = 2 ?3 (X) exp [га (/V)], (5.3,12)
а
где целое число а определяется на следующем шаге вычисления приближений,
а 5" (X) - однородные полиномы степени 3/2 относительно Xi, ..., Х".
Определив
#3 (X, у) = H3s (X) + Язр (X, у), (5.3.13)
получаем
В? (X) = - i Af (X) {2 h (5.3.14)
248
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
где Л" (X) - коэффициенты при членах с критическим аргументом &Гу в Hi.
Видно, что дополнительные особенности могут появиться в окрестности и в
