Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джакалья Г.Е.О. -> "Методы теории возмущений для нелинейных систем" -> 79

Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем — М.: Наука, 1979. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): metoditeoriivozmusheniya1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 109 >> Следующая

, __ Э (д, р)
9 СП, 1) '
соответствует постоянной, вещественной и симплектической матрице [73].
Соотношение (5.2.5) можно переписать в виде
= Т 2 ft=l
так что функции Гамильтона Н2 соответствует п независимых гармонических
осцилляторов, описывающих ограниченное движение вблизи положения
равновесия, когда амплитуда колебаний стремится к нулю. Применяя
преобразование (?,/>)-^-('П, 1) ко всему гамильтониану, находим
н = ± (лтч + 1ТЯ21) + н3 + я4 + ...,
где Нк - однородные полиномы степени к относительно компонент векторов
rj, %.
*) Все выкладки этого и следующего параграфа годятся не только для случая
определенно положительной функции lli. Достаточно только потребовать
устойчивости в линейном приближении. Точнее (если не рассматривать случай
простых элементарных делителей при равных частотах м j) в (5.2.9) и ниже
числа со,- не обязательно считать положительными, а лишь не равными друг
другу или нулю (прим. перев,).
2. ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
241
Уравнения движения можно записать в виде
=^1+Ф(1,т1), | = -я;=-ч+чг(§, ч),
где Ф и Т - ряды из однородных полиномов относительно компонент векторов
tj, 1, минимальная степень которых равна двум. Также ясно, что если
записать Н = Н2 + Н3 + #4 + ..., то для всех t каждый полином Нк
ограничен величиной порядка 0(8к). Аналогичное утверждение верно и для
рядов Ф и ? и, очевидно, уравнения (5.2.6) имеют единственное решение в
области D. Введем теперь каноническое преобразование

(fife +
+ 1 ^ P A
tg yk = -1r-, "ft > 0
(5.2.7)
ИЛИ
f
cos yk,
-V>
(5.2.8)
r]k = V2xhaksmyh.
Отсюда следует, что так как |%|, ||ь| ограничены некоторой величиной
порядка 0(6), а все он (А: == 1, ..., п) положительны и конечны, то |жл|
будут ограничены величиной порядка О (б2), а \ун\ < л/21). Следовательно,
значение ук полностью определяется из (5.2.7) значением тангенса.
После применения выписанного выше преобразования гамильтониан принимает
вид (см. [75])
Н = Gh;Ei-|- ...-)- (?>п%п Яз -f- Hi (5.2.9)
где Hh имеют конечное число членов, соответствующих тригонометрическому
полиному максимальной степени к относительно у, т. е.
Hk - 2 2 ^ft ' xi1 • ¦ • хп " exp [i (v^ vn!/n)], (5.2.10)
т v
') В действительности из (5.2.8) видно, что необходимо считать -жСук^п
(прим. перее.).
16 г. Е. о. Джакалья
242
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
где
(5.2.11)
Соотношения (5.2.11) называются характеристиками Даламбера функции Hh
(или Я)1). Все mh - положительные нолуцелые числа, а все vh - целые
числа. Так как xh = 0(б2), то Hh = 0(8А), к =, 3, 4, ... Интегрирование
системы уравнений, определяемой гамильтонианом (5.2.9), теперь сводится к
нахождению возмущений решения
соответствующего гамильтониану Н = H% = o>iXi -f- • • • + ЫпХп.
Действительно, соотношения (5.2.12) описывают бесконечно малые колебания
в окрестности устойчивого положения равновесия (ж0, у0), которое в новых
переменных соответствует точке х = у =0.
С самого начала ясно, что гамильтониан Н является вырожденным, в том
смысле, что матрица {d^Ihldxtdxj} - особенная. С другой стороны, функция
#з не может содержать секулярных членов (членов, не зависящих от
переменных г/,), так как она является нечетной функцией вектора у и имеет
период 2я по каждой компоненте этого вектора. Также очень важно
напомнить, что каждая функция Hh состоит из конечного числа членов (при
конечном к). Число таких членов увеличивается с увеличением к в
соответствии с условиями (5.2.11).
Форма Н% такова, что никакая теорема, обсуждаемая в главе III книги, к
ней неприменима. Тем не менее мы можем показать, что в любом случае
существуют формальные ряды, нормализующие функцию Н, т. е. приводящие ее
к виду Н = К (X, 0), где все угловые переменные отсутствуют. В
действительности будет показано, что существует преобразование,
определяемое конечным числом тригонометрических полиномов такого же вида,
что и вид Н, такое, что вышеупомянутая нормализация может быть достигнута
с любой степенью точности, хотя в пределе это и может привести к
расходящимся рядам. В различных задачах такая редукция была проведена
Депри и др. [30.2, 31.2], где использовались ряды Ли. Здесь мы будем
использовать подход типа подхода Цейпеля, который в действительности, как
говорилось в главе II, является эквивалентным вышеупомянутому подходу
Депри.
xk= xk = const, yk = akt -j- yl,
(5.2.1)
]) Подробное описание свойств полиномов и рядов Пуассона, обладающих
характеристиками Даламбера, см. в работе [30*1 (прим. перев.).
3. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМАЛЬНЫХ РЯДОВ 243
3. Решение с помощью формальных рядов
Сначала рассмотрим случай, когда соь ..со" линейно независимы на
множестве целых чисел, т. е. условие
/ico 1 + ... + (?)п = 0 (5.3.1)
удовлетворяется тогда и только тогда, когда все целые числа 7i, ..., ]п
равны нулю. Из этого, в частности, следует, что ни одна из со не может
быть нулевой или, другими словами, все переменные присутствуют в
гамильтониане. Однако это является прямым следствием предположения об
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed