Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
поиска решений в виде рядов и о задаче поиска дополнительных интегралов.
Все эти работы прямо или косвенно связаны с задачами небесной механики.
Первыми, кто изучали эту проблему в теории линейных и нелинейных
колебаний, были Ляпунов [55], Крылов [51], Боголюбов [11] и Митропольский
[58]. В современной литературе, т. е. после середины нашего столетия,
имеется очень много работ о резонансах, в которых содержатся обобщения
старых и вводится много новых разнообразных определений и подходов к
проблеме.
Хотя рассматриваемое понятие резонанса является объектом всеобщего
изучения, его надлежащее определение сегодня зависит от частной задачи,
исследуемой автором, и от области его научных интересов. Мы не будем
отступать от этой "традиции", хотя и попытаемся поставить проблему в
достаточно общих терминах, применения которых настолько широки, насколько
только возможно.
Физическое предположение заключается в том, что нам дана система
дифференциальных уравнений, описывающая поведение некоторого механизма,
или электрического, или механического. Механизм является осциллятором в
том смысле, что он может быть описан с помощью вполне определенного
набора переменных действие и угол. В общем случае угловые переменные
изменяются со временем с рационально независимыми частотами, а случай
рациональной зависимости является исключительным, хотя п вполне возможным
случаем. Следовательно, мы предполагаем, что осциллятор имеет дискретный
спектр частот и что он ограничен некоторой полосой. Это основное
предположение.
Типичные проблемы, которыми мы будем интересоваться, связаны с изучением
поведения осциллятора при введении малых изменений его структуры и (или)
под действием внешних по отношению к системе факторов (или возмущений).
Такие изменения и возмущения вызывают эффекты, коренным образом связан-
1. ВВЕДЕНИЕ
237
ные с частотами осциллятора. Если движение осциллятора является
резонансным (периодическое решение), т. е. существует по крайней мере
одна обращающаяся в нуль линейная целочисленная комбинация частот, то
каков же будет эффект малых возмущений (внутренних или внешних) в
системе? Или каково будет результирующее движение, если внешнее
воздействие также оказывает осциллятор, частоты которого рационально
связаны с частотами системы? В классической постановке гармонический
(линейный) осциллятор, который подвергается воздействию внешних сил,
находящихся в резонансе с осциллятором, будет увеличивать свою амплитуду
безгранично. Однако в естественно-технических задачах это невозможно, так
как не существует ни чисто линей' ных систем, ни диссипативных сил,
которыми можно полностью пренебречь, а система распадется, когда
амплитуда колебаний достигнет значения, достаточного для разрушения
системы.
Частота линейного осциллятора не зависит от амплитуды, а при точном
резонансе величина амплитуды стремится к бесконечности. Для нелинейного
осциллятора частота зависит от соответствующей амплитуды (или наоборот),
так что при изменении амплитуды в осцилляторе перестает выполняться
условие резо-нансности частот. Тем не менее, если два нелинейных
осциллятора находятся в резонансе, то общим явлением становится такое,
когда резонансная система стационарна с ограниченными амплитудами и
фиксированными резонансами. Осцилляторы "захватываются в резонанс". Такая
конфигурация в общем случае является устойчивой, в том смысле, что малые
изменения в системе приводят к малым колебаниям около стационарной
конфигурации. Асимптотическая устойчивость может оказаться только при
наличии диссипативных сил, но не в консервативных системах.
Типичной задачей, иллюстрирующей проблему резонанса, особенно для
читателей, работающих в области небесной механики, является задача о
движении простого маятника. Эта задача была подробно исследована Брауном
[14] и недавно еще более детальным образом Кинером [52]. Здесь мы не
будем еще раз описывать этот пример, а лучше подойдем к проблеме с более
общей точки зрения.
В любом случае крайне важно понять, что поведение системы под действием
возмущений и при выполнении условий резонанс-ности можно только тогда
изучить до конца, когда известны все особые точки соответствующей системы
дифференциальных уравнений и их характеристики досконально исследованы.
Для систем с одной степенью свободы в общем случае это простая задача, и
классификация особых точек хорошо известна. Такая классификация была
обобщена на случай систем с двумя степенями свободы [66], но ее
геометрическая интерпретация практически невозможна. Более того, большее
число геометрических теорий, пригод-
238
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
ных для систем с одной степенью свободы (например, теорема Бнркгофа о
неподвижной точке, теорема Бендиксона - Пуанкаре, теория предельных
циклов и аналогичные геометрические проблемы), нельзя обобщить на случай
систем с двумя и более числом степеней свободы.
Большинство результатов, относящихся к проблеме резонансов в нелинейных
