Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
магнитных силовых линий, захватываются магнитным полем, если только оно
медленно меняется или если скорости частиц малы. Основная лемма,
рассмотренная Арнольдом для доказательства этого результата, заключается
в следующем.
Лемма. Пусть данный адиабатический гамильтониан Н(у'и у2, хъ х2), где уi
=ej/i, при фиксированных значениях Уи хг определяет колебательную систему
с переменными действие Р {У1,"х1г h) и угол Q{yi, у2, х±, х2). Тогда
существует
232
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ. СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
аналитическое преобразование переменных у и У^ хи хъ в новые переменные
у, W, Ру, Pw, обладающие такими свойствами.
а) Функции у 1, г/2, хг, х2 имеют период 2я по W, и при
г -V- 0 получаем у-*~у\, WQ, Ру-*-х\, Pw -*-Р.
б) Вдоль решений системы с гамильтонианом Н справедливы следующие
канонические уравнения с гамильтонианом 1(у, Ру, W, h):
dPy = _ dl_ dy______dj_
dW дУ' dW~~ ЭРу'
где h - параметр (константа интеграла энергии Н - h).
в) Величина I имеет вид I = -bPw, где функция
Pw = I0(PV, у, h) + e/i (Pv, y,W,h) + ...
является аналитической функцией периода 2л по W, а h(Pv, У, h) = Р(у, Ру,
К).
Из проведенного ранее рассмотрения одномерных систем следует, что Р и гхх
будут вечными инвариантами. Различные способы приведения к гамильтониану
рассмотренного вида, который в пределе становится адиабатическим
инвариантом, могут быть осуществлены с помощью методов теории возмущений
в нелинейных системах.
Контопулос [6] применил методы теории возмущений к построению третьего
интеграла (который строится последовательными приближениями с учетом
выполнения условий обращения в нуль скобок Пуассона) и к нахождению
адиабатического инварианта в системе
Ук = xh -
с гамильтонианом
Н = -J {xi + х\ + (Oil/1 + ffliz/!) - ШУг sin w* = Н0 + гнг.
Эта работа, помимо очень интересных аналитических построений, содержит
также численную проверку результатов. Основной вывод работы: если нет
резонанса между частотами (c)i, юг, то оба метода дают одинаково хорошие
результаты. Тем не менее, если числа CD] и юг почти соизмеримы, то
адиабатический ^инвариант очень быстро (по времени) вырождается и в
случае точной соизмеримости пропадает. С другой стороны, в этом же случае
соответствующим образом модифицированный третий интеграл можно
6. ЗАМЕЧАНИЯ
233
найти, так что он будет оставаться интегралом в очень высоком приближении
(по времени). Как говорит Контопулос, несправедливость свойства
адиабатической инвариантности при резонансе была известна еще по очень
давним работам, на которые в работе [37] ссылается Зоммерфельд, однако в
современной литературе этот факт упоминается редко.
Мы закончим этот раздел напоминанием, что в настоящей главе почти не
говорилось о теории существования инвариантных многообразий возмущенных
систем, которая построена в работах Левинсона [21], Дилиберто [8, 9],
Кинера [19] и Лоуда [22]. Однако отличное описание результатов этих работ
можно найти в замечательной работе Хейла [11]. Основная идея заключается
в рассмотрении автономной системы
ж=/(ж), ж = {хг, ...,хп)
с периодическим решением
х - Ро W = Ро Ч- Т0).
В и-мерном пространстве (ж, 0) цилиндр ж = р0 (0) является инвариантной
поверхностью, т. е. каждое решение, принадлежащее цилиндру в какой-то
момент времени, будет оставаться на нем все время.
Рассмотрим возмущенную систему
x=f(x) + eg (ж, t, е),
где g (ж, t, е) -g (ж, t + Т, г). Можно показать, что если /(ж) и g (ж,
?, е) принадлежат по крайней мере классу С3, то при достаточно малых е в
пространстве (ж, t) существует поверхность ж = р (t, 0, е) е С1, лежащая
вблизи цилиндра ж = р0 (0) и являющаяся инвариантной поверхностью
возмущенной системы. Также справедливо утверждение, что функция p(t, 0,
е) имеет период Т по t0 и.период То по 0, а р (t, 0, 0) = р0 (0).
Распространение этих результатов на случай условно-периодических (по t)
функций g(x, t, г) было осуществлено Хейлом [И]. Результат будет
аналогичным, с тем только замечанием, что функция p(t, 0, е) также
условно периодична по t. Плисс [30]') получил условие существования
инвариантных многообразий, которое не зависит от понятия возмущения, т.
е. для систем вида
х=Х(х ,y,t), y=Y(x,y,t),
где ж, у - векторы размерности п. Основное предположение: X, ГеС'в
некоторой области {ж t^R, и
') См. также книгу [29*] (прим. перев.).
234
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
имеют период Т по t. При доказательстве используется сведение задачи к
исследованию сжимающих отображений, а затем к доказательству
существования неподвижной точки. Аналогичный способ исследования
интенсивно использовался Картсатосом в работе [15]. В этой работе можно
найти много относящихся к рассматриваемому вопросу литературных ссылок,
но ее обсуждение здесь проводиться не будет.
ЛИТЕРАТУРА
1. Андронов А. А. и др. К теории адиабатических инвариантов.-Ж. Русск.
хим. общ., 1928, т. 60, стр. 413-457.
2. Арнольд В. И. О поведении адиабатического инварианта при медленном
периодическом изменении функции Гамильтона.-ДАН CGCP, 1962, т. 142, № 4,
