Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джакалья Г.Е.О. -> "Методы теории возмущений для нелинейных систем" -> 74

Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем — М.: Наука, 1979. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): metoditeoriivozmusheniya1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 109 >> Следующая

маятник с медленно меня-
6. ЗАМЕЧАНИЯ
229
ющейся длиной нити. Гамильтониан такой системы имеет вид
Н = 4^Х*+ у(02!/2,
где м = ю(т) >0 для всех т = е?. Тогда
г _ Н 1 " .I"1 о
1 ~ - ъЕх +Таг
Хотя за конечное время величина I(t) может измениться мало, но за большие
промежутки времени она может иметь большие изменения (даже секулярные).
Тем не менее было получено такое утверждение (см. [3], глава II, § 2).
Теорема. Для медленно и периодически изменяющихся гамильтонианов Н(у, х,
т) нелинейных колебательных систем с одной степенью свободы
адиабатический инвариант сохраняется вечно, т. е. для любого 8 > 0 можно
найти такое во(8) > 0, что при | е | < (r)0 неравенство |/(?) -^(*о)1 <8
выполняется для всех t.
Этот важный факт является следствием нелинейности системы, т. е.
следствием свойства зависимости частоты от амплитуды. Аналогичный
результат не может быть получен для линейной системы с ее классической
неустойчивостью при резонансе.
Для того чтобы показать строгую связь между адиабатическими инвариантами
и формальными интегралами, получаемыми в асимптотических методах теории
возмущений, рассмотрим систему с одной степенью свободы и гамильтонианом
Н(у, я, т) = Н(у, х, т + 2п), т =. et.
При т = const система автономна и интегрируется непосредственным образом.
С помощью переменных действие - угол I, W, определяемых производящей
функцией Гамильтона - Якоби S =, - S (у, /, т), мы имеем
х =, dS/dy, W = dS/dl,
где
S (у, I, т) = (j) х (h, у, т) dy. h
Последний интеграл вычисляется вдоль замкнутой траектории, определяемой
условием h = #0 (/, т), где функция h = Н0 есть функция, обратная к
функции
I (h, т) = (j) z (h, у, т) dy,
H=h
230 ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
a x(h, у, т) определяется из уравнения Н(у, х, т) = h. Для современного и
ясного определения операции введения переменных действие - угол мы
предлагаем читателю книгу Мейровича [23] (глава 9).
Величина 7, очевидно, является постоянной, а угол W на окружности 7 =
const изменяется равномерно:
До сих пор мы считали, что величина т является постоянной. Пусть теперь т
изменяется со временем: т = et. Тогда приведенное описание движения
является только приближенным (адиабатическим) в интервале времени t ~
1/е. Однако в общем случае мы можем написать
где в силу того, что преобразование (у, х) -к (W, 7) является
каноническим, но зависящим явно от времени, имеем
Последняя величина является однозначной функцией W и т, зависящей от них
2я-периодическим образом. Классическая картина поведения траекторий в
расширенном фазовом пространстве {у, х, т) - следующая. Отождествим точки
с координатами т и т + 2я, а также W и W + 2я. Уравнение 7 = const
определяет двумерные торы с угловыми координатами т и W. Если е = 0, то
фазовая точка движется вдоль линий т = const с угловой скоростью TF(7,
т). При в ф 0 имеет место медленное движение (т == ef) по нормали к уже
описанному. Оно происходит на торе, имеющем две частоты. Однако в
адиабатическом приближении фазовая точка остается на инвариантном торе,
определяемом условием 7 = const. Истинное движение близко к
адиабатическому приближению при t (tm) 1/е. Если система является
нелинейной, то адиабатическое приближение остается справедливым при всех
t. В действительности это и утверждается в теореме Колмогорова.
Средняя частота определяется формулой
о
7/(7, W, т) = 770(7, т) + ?77,(7, W, т),
Я1=^- = Я1(7, W, т).
о
где
о
6. ЗАМЕЧАНИЯ
231
Нелинейный характер движения определяется условием невырожденности
d2H0 _ da> , n
IP-------5T^U-
Из этого условия следует вечная адиабатическая инвариантность величины I,
т. е. всегда можно найти инвариантные торы для системы, соответствующей
переменной величине т, и они будут близки к торам I - const для
достаточно малых е и любых моментов времени. Точнее, можно утверждать
следующее.
1. Для любого б > О можно найти такое Ео > 0, что если j е ] <С Ео, то
точка (уо, xq, т) лежит между двумя инвариантными торами Т\ и Т2, где
\1(У 1, хи ti) - /(г/г, х2, т2) | < б
при условии, что (г/i, хи ti) еГь (г/г, ^2, т2) ^ Т2.
2. Рассмотрим такой гамильтониан
Я (7, W, т) = Я0(/, т) + eHi(I, W, т),
что дНй/д1 Ф 0, д2Но/дР щк 0 и Н аналитичен при j / - /о | <1 Р-Тогда для
каждого б > О можно найти такое е0 > 0, что если |е| < Ео и |/(г") - /о|
<1 р~8, то для всех t выполнено неравенство | I(t) - I(t0) ] < б.
С помощью леммы Арнольда (см. [3], стр. 116-118) о преобразовании
гамильтониан приводится к виду
K(q, Р, б) = еК0(р) + &2К\ (q, р, 0) + . . .,
где 0 = W - новая независимая переменная, a q, по существу, совпадает с
т. К этому гамильтониану можно применить теорему Колмогорова, из которой
и следует, что 1 будет вечным инвариантом.
Адиабатическая инвариантность в системах с двумя степенями свободы также
была исследована Арнольдом (см. [3],глава 2, § 3) и применена к
классической задаче о магнитных ловушках. В результате доказано, что
заряженные частицы (например, электроны), движущиеся по спиралям вокруг
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed