Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
Кинером [20] в задаче о движении спутника сжатой планеты в поле с
цилиндрической симметрией. Мозер [29] описал применение своей теоремы в
задаче об адиабатических инвариантах в магнитных полях с замкнутыми
медленно меняющимися магнитными поверхностями. За описанием этих
приложений мы отсылаем читателя к упомянутым оригинальным работам.
С геометрической точки зрения теорема Колмогорова имеет один очень
интересный аспект.
Действительно, рассмотрим гамильтониан Н (у, х, г), аналитический при е
=, 0 и при жейс Rn, 11ш у | < р. Пусть, кроме того, Н (у + 2л, х, е) =
H(y,s,x, е) и Н(у, х,Ь)=Н0(х). Пусть точка х = х0 е D, и определим
величину
дН . .
(c) =-§ЗГ - ("i> "*)
при е =. 0 и х = х0. Предположим далее, что точка х0 может быть выбрана
так, что при е =, 0 определитель det Нхх Ф 0 и, более того, все Мь (к =
1, ..., п) удовлетворяют обычным условиям иррациональности.
При сделанных предположениях теорема Колмогорова эквивалентна утверждению
о существовании таких аналитических вектор-функций и, v, что выражения
#=0 + w(0), x = CJrv(Q)
описывают инвариантный тор. Движение на торе определяется
формулой 0 ==.(c), где 0 = (0i, ..., 0").
Легко осуществить сведение описанной задачи к отображениям, сохраняющим
меру. Действительно, рассматривая для простоты случай п = 2и гамильтониан
Н =,Н0(х 1, х2) + г/г, (r)1, (r)2, е),
положим Х\ = г, yi =, 0, г/2 = т, х2 = х. Далее предположим, что дНа/дх2
ф 0. Исключая из уравнений движения время t и пере-
6. ЗАМЕЧАНИЯ
227
менную х с помощью интеграла движения, получаем
JjL =______-/ 8Н -F (г 0 т е)
d-z т/ дх т' е>'
dQ дН/сН г/ а \ (4.0.d)
где, очевидно, функции F и G имеют период 2я по т. Более того,
если через го, 0о обозначить начальные условия, соответствующие
при т - 0 заданному значению энергии, т. е. #(0О, 0, r0, X) =.h, то
решение
0 =,0(0о, г0, т, в), г = г(0о, го, т, е)
при т = 2я отображает точку (0о, го) из плоскости т == 0 в точку (0, г)
из плоскости т = 2я (эти плоскости перпендикулярны оси т в расширенном
фазовом пространстве рассматриваемой системы). Следовательно, отображение
j 0* = 0(0О, г0, 2я, е),
Е \ г* =г(0о, г0, 2я, е)
сохраняет площадь, так как система (4.6.3) гамильтонова, и при е = 0
легко получить, что
(0* = е + 2я-^,
М0\ 0 '
I 7* = Го.
где
_<Ъ __ ЭЯ0 1дН0 _ дН01дН0 1 ,,
со2 дх± I дх2 dr I дх 2п
так как переменную х можно исключить, если использовать интеграл энергии.
Тогда отображение М0 определяется формулами
,, I J* =0о + "(го).
1 г* = г.,
а при е ф 0 имеем
( G* = 0О + "{го) + еФ (0о, го, е),
* \ г* =г0+ еЧ> (0О, г0, е).
Теперь можно применить теорему Мозера о малых отображениях кручения, если
соответствующим образом ограничить величину х\ (здесь г) кольцом 0 < а ^
г0 ^ Ъ.
15*
228
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
Понятие адиабатических инвариантов и их использование очень тесно связаны
с обсуждаемыми сейчас методами теории возмущений. Это понятие очень
интенсивно изучалось и хорошо описано в литературе; здесь мы хотим
упомянуть некоторые из основных результатов. Ранней работой, которую
следует назвать в связи с рассматриваемыми вопросами, является статья
Андронова и др. [1], упомянутая Арнольдом. Очень хорошие работы выполнили
Каеуга [16] и Крускал [18]. Арнольд изучил часть рассматриваемой задачи в
работе [2] и более подробно в работе [3] (глава II, стр. 111-124).
Недавние работы, относящиеся в той или иной степени к нашему вопросу,
выполнены Картсатосом [14], Вазовым [38] и Халламом [12].
Термин адиабатический имеет классический смысл (общий с термодинамическим
смыслом), означающий очень медленное изменение параметров, определяющих
физическую конфигурацию системы.
Рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом
Н = Н(у, х, т),
где t = ei, а е - малый параметр. Мы имеем следующее определение.
Функция 1(у, х,т) называется адиабатическим инвариантом рассматриваемой
системы, если для любого 6 > О возможно найти такое е0 > 0, что при 0 < е
< е0 для всех t из интервала
О < t < 1/е выполняется неравенство
17(i) - 7(0) 1 <6.
Здесь мы положили I(t)=I(y(t), x(t), Bt), где y(t), x(t) - интегральные
кривые системы, определяемой гамильтонианом Н.
Ясно, что любой интеграл является адиабатическим инвариантом, а в
действительности даже вечным инвариантом. Наиболее типичным примером для
систем с одной степенью свободы является следующий пример,
рассматриваемый в квантовой механике.
Рассмотрим Н - Н{у, х, т). При т = const уравнение Н(у, х, г) =.Е(уо, х0,
т) = const в плоскости (у, х) описывает мгновенную конфигурацию линий
энергетического уровня. Предположим, что при значениях т и Е из некоторой
области эти линии образуют замкнутые траектории. В этом случае они
заключены в некоторой области, площадь которой обозначим через 2п1(у0,
х0, т), где (у0, х0) -любая точка соответствующей ограничивающей
траектории. Тогда можно показать, что величина I является адиабатическим
инвариантом в смысле, определенном выше. Например, рассмотрим простой
