Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
6. ЗАМЕЧАНИЯ
221
и So можно опять выбирать независимо от [г. Это очень важно, так как в
противном случае при (.1 ->- 0 мы имели бы 8о ->• 0 и доказательство не
годилось бы.
б) Отображение То (т. е. при ц = 0) надо заменить на отображение
%h 1, • • •, ^),
yl = liah(x) +yk-(k = i,...,p), y* = aj(x) + ys (/ = p + l, ... в).
при
(") < (*) < № (b).
в) Интервал, определяемый формулой (4.4.15), надо заменить
на интервал
ак (а) 4- е < --- < "ft (6) - е, и, наконец, условие (4.4.16) необходимо
записать в виде
р N
2 mh[iah + 2 rxftj -f 2mnN+1
h-1 j=P+l
где тпк, m} - произвольные, не обращающиеся одновременно в нуль целые
числа.
6. Замечания
Проблемы нормализации гамильтоновой системы дифференциальных уравнений и
сохраняющих меру отображений в окрестности положения равновесия или
неподвижной точки соответственно аналогичны друг другу и имеют одинаковые
трудности, приводящие в общем случае к расходимости асимптотических
рядов, представляющих преобразование. Однако это не указывает на то, что
нормальная форма не существует, а только в худшем случае на то, что такая
форма не может быть получена с помощью степенных рядов. Основная идея,
лежащая в основе нормализации Биркгофа в гамильтоновых системах,
заключается в описании всех движений в окрестности положения равновесия с
помощью естественного обобщения ляпуновской процедуры построения
периодических движений в этой окрестности.
Основная теорема Биркгофа [5] утверждает, что если характеристические
показатели (частоты нормальных колебаний в окрестности положения
равновесия) рационально независимы, то в формальном смысле существует
нормальная форма, и гамильтониан
{ле
ГПъ
-N-U2
222
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
в соответствующих координатах у и импульсах х может быть записан в виде
формального ряда (степенного) относительно ?i,
..где = х\ + Ук- Как уже отмечалось выше, в этом случае ясно, что все ?
становятся интегралами движения. В общем случае они являются только
формальными интегралами, так как преобразование от исходной формы к
нормальной форме описывается формальными рядами, вообще говоря,
расходящимися.
В резонансных случаях, т. е. когда есть рациональная зависимость между
частотами нормальных колебаний, ситуация не изменяется, и в общем случае
нормальная форма, полученная Густав-соном [10], также расходится, на что
также указывают его чис-лепные эксперименты, а также схожие эксперименты
Хенона и Хейлеса [13]. Точные результаты о плотности множества
гамильтонианов, для которых приведение к нормальной форме может быть
осуществлено сходящимися рядами, были получены Зигелем [33].
Для систем с двумя степенями свободы тейлоровское разложение функции Н
вблизи положения равновесия эллиптического типа имеет вид
2
н = 2 т vfc (Ук + + Нз (у- х) ¦¦¦ +НП (У, х)+ (4.6.1)
k=\
где
гг __ V - ,rfc7/i = ^ ^ ^ У1 г , , 'rht'rk2nl4il2
п - JmA Сh,l% У -J jZ* Сkik2lil2*^1 ^2 У1 У2 "
ft ,1 h\ k2 11
и из сходимости разложения для Н соответствующей перенормировкой фазовых
переменных и времени можно получить
|С"|<1. (4.6.2)
Пусть S - множество всех функций Н вида (4.6.1), удовлетворяющих условиям
(4.6.2). Зигель показал, что гамильтонианы с иррациональными значениями
V1/V2, для которых преобразование Биркгофа к нормальной форме расходится,
плотны в S при топологии, определяемой выбором окрестностей, задаваемых
неравенствами) с*,г- с*,*|<Се*,г для всех к,1 и для данных е*,*. Скорость
уменьшения чисел е*,/ с увеличением к, I произвольна.
Следовательно, для решения вопроса о сходимости или расходимости
преобразования необходимо точно знать все коэффициенты функции Н, что
придает процедуре приведения к нормальной форме очень небольшое
физическое значение, так как параметры системы никогда не бывают известны
абсолютно точно. Более строгий результат Зигеля [34] указывает, что
случаи, при кото-
6 ЗАМЕЧАНИЯ
223
рых имеет место сходимость преобразования Биркгофа, оказываются
исключительными в том смысле, что они образуют множество, которое
является объединением бесконечного числа нигде не плотных множеств. Стоит
упомянуть результат Рюсмана [32], который показал, что если система
дифференциальных уравнений, соответствующих гамильтониану (4.6.1),
допускает аналитический интеграл
2
G = 2 Pfe (j/I + xk) ~r • • • 7
ь=1
где V1P2 - V2^i ?= 0, то преобразование Биркгофа сходится. Это
оправдывает тот факт, что интегрируемые гамильтоновы системы в
окрестности положения равновесия можно определить как системы, для
которых преобразование Биркгофа сходится.
Связь между гамильтоновыми системами и сохраняющими меру отображениями
устанавливается легко. Если дано такое отображение Ж, что М° -
тождественное отображение, М1 = М, M'+s - = М*М% то отображению М
соответствует решение гамильтоновой системы
У=Нх(у,х), х = - Ну (у. х),
т. е.
t ( У =У(У<>1 хо< t),
\ х = х(у0, х0, t).
В этом случае отображение М имеет интеграл Н(у, ж), который инвариантен
относительно отображения М. Обратно, если отображение М обладает
