Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
сходимости произведения G". Но матрица /( мажорируется матрицей
Следовательно, достаточно показать сходимость произведения
Это произведение, будучи коммутативным, меньше (или равно) произведения
Выбором достаточно большого Q0 можно сделать | G" - 1\ <8
и, следовательно, |рл|а+ \Qh\s <Z е при s - 1, как и утверждается в
теореме.
|/п-Л<7Г-^п
оо
Дехр ^- = ехр 2^-.
"=1
которое, очевидно, является сходящимся. Также имеем
ОО
?(/+?*)-/<
218
ГЛ IV. ОТОБРАЖЕНИЯ. СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
Для завершения доказательства теоремы осталось снять ограничение ак(х)
=хк. Для этого достаточно ввести замену переменных и опять доказать, что
теорема следует из второй леммы настоящего параграфа. Действительно,
пусть отображение
| Xk=xk + Gk (х, у),
^ 1 Ун =Ук + &к И + Fk (х, у) определено прп ак хк "? bh. Пусть
Ък = ак(х), ч)к = Уь. (4.4.53)
Тогда отображение принимает вид
У | Is Ife "Ь ?>ft (1> Л).
1 Tift - % + Is + fk (!• "п) 5
так как преобразование (ж, у)-*-(%, ч) однозначно и имеет тп ограниченных
производных. Кроме того,
MS, л) =рк (Х(Ъ), л). gh (I, 4) = ак (х + G (х, у)) - ак (х) =
= ак (х (|) + G(x (|), 4)) - ah {х (1)).
п, следовательно, условия (4.4.17) и (4.4.18) удовлетворяются при
соответствующем выборе постоянной С0. Кольцо, в котором определено
отображение Т, содержится в кольце шириной Со"1, т. е. ак (Ь) - ак (а)
^С0 1 при ah (a) ^.lh^.ak (b), что следует из
(4.4.53).
Доказательство теоремы для s > 1 проводится аналогичным образом с помощью
вывода новых соответствующих соотношений между параметрами М, Q, б, q, s,
v, о, тп (см., например, [26, 28]).
Важно отметить следующее.
I) Теорема Мозера эквивалентна (в смысле утверждений теорем) теореме
Колмогорова, но не требует аналитичности гамильтониана (в случае
аналитичности отображения Т"). Требуется только существование производных
до некоторого порядка. Это стало возможно в результате применения к
соответствующим функциям операции сглаживания.
II) Появление малых делителей в рядах типаехр[?(/ та)]-1 контролируется
оценками вида (4.4.23). Классические результаты в теории диофантовых
приближений показывают, что при всех целых jh такой оценке не будет
удовлетворять только множество значений, мера которого по сравнению с
мерой единичного куба
О •< ah < 1 (к = 1, ..., п) равна 0(e) и стремится к нулю вме-
4. СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
219
сте с е. Возможные малые значения таких знаменателей компенсируются тем,
что сходимость приближений к отображению Г"
имеет такую же скорость, что и у последовательности 8о .
III) Условие невырожденности, фигурирующее в теореме Мозера, как уже
упоминалось выше, совпадает с условием Арнольда п является менее жестким,
чем условие Колмогорова '). Действительно, так как
Qu
oik -= 2m"ft 2п q , Од О,
то условие (4.4.16) можно переписать в виде
,-п+1/2
N
2 ibQk k=i
:> е'
2 I ik
k=i
что является обобщенным условием иррациональности Зигеля. Условие
det (^т)
после использования определения
ак = 2я-
и соотношении
Жо dxk дН о
дх
дх
____
dxj
дщ
dxj
Ж
приводит к обобщению условия (4.3.11), т. е.
дЧ10 д2Н" д2Н0 дн0
дх\ дххдх2 дх1дхп дху
д*н0 д*-Н0 дш0 дН"
дх2дхг дх\ дх"дх 1 п дх2
д'-Н, д2Н" д*Н0 О • S • СЪ
дхпдхх дх" дх2 тг 1 дхп дх тг
эн0 эн0 эн0 о
дхг дх2 дх п
=^0.
!) См. примечание в конце параграфа (прим. перев.).
(4.4.54)
220
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ. СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
Также очевидно, что если ?2* ф 0 (к = 1, . .., п) и если обычно условие
невырожденности, фигурирующее в теореме Колмогорова, выполнено, то и
(4.4.54) выполнено1). Обратное не всегда верно.
5. Вырожденные системы
Здесь мы ограничимся несколькими замечаниями, которые позволят доказать
теорему, эквивалентную теореме Арнольда, в вырожденном случае.
Пусть jj, - малый параметр, входящий в гамильтониан системы Я и 0 < [1 <
1. Однако в общем случае много меньше единицы. Допустим также, что
некоторые Qh = 0 (к = 1, ..., p<Zn). Как и в теореме Арнольда, определим
"секулярную" часть Hls функции Н1, т. е.
# = Я0 + ^(His + Hip)i
а из нее определим
дН.
Qk=~d^ (* = !¦ •¦¦,/>)
и
(/ = р + 1, ...,")•
Следовательно, отображение Т" будем записывать в виде
** = ** + M^ft (". У) (& = 1, ..., п),
у1 = Ук + \ь ["ft (*) + Fh {х, У)] -Г Pft (*= 1, ..., р), (4.5.1)
У*5 = У} + а1 (х) + VFi (ж> У) (/ = Р + 1, • • •. л),
и оно определено в кольце 0 < аА ^ хк ^ bh, Ък - ah ^ 1, где к = 1, ...,
п. При этих условиях теорема Мозера будет оставаться справедливой, если
ввести следующие модификации,
а) Отображение (4.4.14) надо заменить на отображение
Уп = Ук + № (*°) = Ук + № {к = 1, ..., р),
Уи = Vs + aj (*°) = y'i-ras (j = р + 1, ..., п).
') В действительности условия Колмогорова и Арнольда - Мозера
(4.4.54) не сводятся одно к другому. Ошибочность приведенного в тексте
книги утверждения следует, например, из рассмотрения системы с
гамильтонианом (<о3 > 0)
Я0= (сосо2^2) (1 + Ж1-(-г2).
Здесь определитель Колмогорова равен - (0З1 + оз2)2?= 0, а определитель
(4.4.54) равен нулю (прим. ред.).
