Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, из (4.4.30) мы получаем
S* < CCQ^\F\о = CCQ>\F\n (4.4.33)
и, аналогичным образом,
S*2 = | 5 (S (Фм,<з (F (х, у)))) [ < CCQ201 F |0. (4.4.34)
(4.4.35)
l/h+k|i<6o, \Dmh\+\Dmgh\<C0
14 г. Е. 0. Дшакалья
210
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
и такое, что каждая замкнутая ограниченная регулярная поверхность.
близкая поверхности xk - const (к - 1, ..., iV), и ее образ имеют хотя бы
одну общую точку. Тогда для достаточно малых бо существует преобразование
я* = 1ч + Ч) ¦ Ук = Tie + vk(%, л) (4.136)
при
JL______ 1 ^ 1
^71-1
I = '< ак I< j/ (у > I/ ¦
такое, что
I vp. |i I uk li < ~Q~> (4.4.37)
а отображение T приводится к виду
Й + <Рь (1> Л)' Л* = Л ft t- Ik - 'Ml. Л), (4.4.38)
где
|Фк1о-Кк|о<б = 6?,-1 (4.4.39)
при ||л - ан\ <; 1/Q, и, более того,
I D^DlQff, | -f | ОЩМ^ | < <?р,+ +PN+iMq'+ +q*+i (4.4.40)
при pN + qx + . .. + qN = m.
Действительно, из выписанных выше соотношений следует
lh -Г 4>k (S, л) + uh (|*. л*) = lh + Uh (I, л) + gh (I + ", Л+")> Лй 4-
Ih - tft ("• Л) -г i'k (I*- Л*) = Лй + Vk (g, л) + lh 4- Uh (I, 4) 4-
т/й(1тв, л + ")
или
Фй (i, л) 4- 11 и (1*, Л*) = uk (g, 1}) 4- gklg + и(I, 4), T)4-p(|, T))],
tyh (I, Л) + Vk (!*• Л*) = Vk (I- л) - uk (I, Л) + fk II +
4- и (l, л), Л + "(Ъ, Л)]- (4.4.41)
Теперь линеаризуем уравнения, которые получаются из соотношений tpfc =
i|3ft = 0 при условии, что величины fk, gh, uk, vk и 11* - ah [ имеют
одинаковый порядок малости, т. е. являются величинами порядка О (/л).
Будем пренебрегать членами порядка, равного или большего, чем 0(\i2). В
результате находим
vh (|, ч -г ю) - vk (§, ч) = uh (|, 4) 4- /л (g, л).
Uk (I- Л 4- <*>) - uk (g, 4) = gh (1, ч)-
Второе из этих уравнений можно решить б соответствии с предыдущей леммой,
если только функция gh(g, ч) имеет нулевое
4. СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 211
среднее относительно rj. В любом случае к функциям Д и gh надо применить
операцию сглаживания для того, чтобы восполнить "потерю" необходимого
количества производных.
Определим функции ик, vk как решение системы уравнений
ик {%¦> "4 (r)) Ч) (r) (.Sk ^
vk (I, Л + (r)) - Uh (I, Л) = uk (1, Г]) -f Ф (fk),
где vh = 0, черта означает среднее по отношению к ij, а Ф - определенный
ранее оператор сглаживания.
Усреднение второго из этих уравнений дает
ик ~Ь Ф (fh) - О,
так что из первого уравнения находим
ик = S(Ф Ы ) + йк = S (Ф (Ы) - Ф (Д), (4.4.44)
где оператор S определяется формулой (4.4.22). Из второго уравнения
(4.4.43) следует, что
v" = S(uk + 0(fh)) =S(S( Q>(gk))) +5( Ф(Д)). (4.4.45)
Уравнения (4.4.44) и (4.4.45) определяют функции uh, vh в кольце
it "i^-l 1
I Sfe I c ,rr X! = IA.
n-1
Остается проверить только соотношения (4.4.37), (4.4.39) и (4.4.40).
а) Используя (4.4.33) и (4.4.34) и рассматривая (4.4.20), находим
Kl + Ы ^С1С2°(|/*!о+Ыо) <С,П-1 = С№ (4.4.46) и аналогичным образом
\йгик\ + \DiUk\^C2Q2°M-\ | Dnuk | -j- | Dnvk | C2Q2aM~1.
"" (4.4.47)
Так как мы приняли v>2a+l, то \ик\ + \vh\ ¦< i/QM и
I иь \ i + | 1 < 1 /Q, что и совпадает с доказываемым выражением
(4.4.37). Отсюда также следует, что uk, vh определены в кольце
п-1
при УСЛОВИИ
м0 > 41/(1+9)
14*
'212 гл IV ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
й здесь выполнено неравенство (4.4.46). По теореме о неявной функции
образ области а4| < 3/М при отображении (4.4.36) будет покрывать по
крайней мере кольцо |а:л-ак\ <2/М, и, следовательно, обратное
преобразование определено (и притом единственным образом) б кольце \хк-
ак | < 2/Л/, и б нем оно будет непрерывно дифференцируемым при достаточно
большом М 3* Mq. Отсюда следует, что отображение (4.4.38) определено и
дифференцируемо в кольце \хк - а4| << 1 /М, так как преобразование
(4.4.36) переводит эту область в
I | I I | uk I ^ "I- Qfyj i
а отображение (4.4.35) - в
\x*k - ah\-<\xk - ah\ 4- 6n+1 +
где отображение (4.4.38) определено единственным образом.
б) Оценка величин |срл|, в области | j << 1/М нуж-
дается в предположении, что каждая замкнутая поверхность, близкая к
инвариантному многообразию хк - const (k = i,.. .,N), т. е. к Е& = имеет
образ
?=$-гФк(§° ц),
е tO
который пересекается с gfe = c,k и, следовательно, это эквивалентно
предположению о существовании хотя бы одного нуля функции [фй (|°, т|)]
относительно л- Следовательно,
sup !фл(§°, Л) I < амплитуда фл(§°, л) < 2sup |ф*(?°, л)+г*(§°) I,
л Г) Г)
где zk (|)- соответствующим образом подобранные функцииот | Мы будем
брать
zh (g) == - Ф {gh (g. л)).
Из (4.4.41) имеем 4* I 4>ft (S. Ч) lo < (Ф* (I, л) -"Ф (Sk (I- л)) 1о =
= I ик (|, л) - uh (|*, л*) + gk(l + u.r\~-v) - <& (gh (g л)) I,, а
используя (4.4.43), (4.4.47), находим
"2* I Ф& (1> Л) lo ^ C2Q2°+lM~* | ah | + | uh |x (| фй10 -f- | |0)
-f-
+ | Ф (gh (x, y)) |x (| uh |0 + | vh |0) + | (/ - Ф) (gk (*. У)) |o-
4. СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 213-
где нормы всех членов, зависящих от х, у, определяются при условии, что
эти функции определены в кольце
15ft - afel<7j7 ~~~м'
п-1
Аналогичным образом, вычитая первое уравнение (4.4.42) из второго
