Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
непрерывных производных по каждой компоненте у3, то уравнепие (4.4.22)
имеет непрерывное решение, такое, что
'S(F) |0<-
(4.124)
где С ¦- произвольная постоянная, которая не зависит ни от одного из
параметров. Более того, можно взять 5(0) = 0. Действительно, используя
для функции F разложение в ряд Фурье
J ГО
получаем решение в виде
jTo ег(/Га) -1
1(jTy)
(4.4.25)
где j =(/,, ..., jx). Так как функция F имеет х непрерывных производных
по каждой компоненте у" то
\k -1
I Jh
1
2sin -(/та)
F
{N
Vl -4 I
к 1
]><
-T+Wf 1/2
для достаточно малых е, и, следонательно,
Fi
'/г 1
-N-1/2
F\
и ряд (-4.4.25) является абсолютно сходящимся. Для того чтобы показать
справедливость оценки (4.4.24), достаточно взять
I N ) -N -1/2
с = 2 2Ы
УФ0 \k--i
(4.4.20)
Как следствие отсюда получаем, что если F (х, у) является 2л-
периодической функцией но у ь ..., уК и имеет нулевое среднее, то, как и
раньше, можно решить разностное уравнение
S (х, у-\ а)~ S (ж, у) -= F (ж. у)
4. СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
207
и получить
Б) Мы можем определить действие операции сглаживания (см. [26, 3]) на
функцию 2N переменных. В некотором специальном смысле в результате этой
операции функции F (х, у) будут аппроксимироваться функциями Ф (ж, у),
которые имеют более гладкое поведение, чем F (х,у). В основном эта
операция сводится к интерполяции производных функции Ф, которая оставляет
инвариантными (точно интерполирует) полиномы некоторой степени. Пусть F
(х, у) - непрерывная функция в области
ак < хк < Ък, - оо < ук < + оо
при А-=1,(..., N. Степень аппроксимации по отношению к двум векторным
переменным х и у может быть различной (в действительности она может быть
различной для каждой из 2N переменных) и она определяется двумя
параметрами М и (> > I. Сглаживающая функция Фгг, q(F) определяется в
меш.пгей области
1 1
^h ,
и предполагается, что 2/М < Ък - ак. Эта функция определяется формулой
^
Фm,q(F (х,у)) =| •••.(*.[ • • • f Km,q{x - I. у - ii) F (I, i\)dldi\.
ak<^h bk - оо<Л^ < + oo
(4.4.27)
Ядро Km,q (я, У) берется так, чтобы
Km,q (ж, У) = МК {Mx)-QK (Qy),
где К (х) е С°°, и удовлетворяет условиям
К(х) = 0 при j | > 1 (4.4.28)
и
Г Г ъ' f 1 ДЛЯ 2^1=0
] .. . \ хх% ... K(x)dx=-\ (4.4.29)
-оо \ 0 для 0<2iki<m,
где кг > 0 и т - фиксированные числа. Таким образом, функция Фm,q(F)
зависит от т. которое выбирается так, чгобы удовлетворялись условия
(4.4.13).
208 гл IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
Условие (i.4.28) показывает, чю <3 равно нулю при |г/&|> >1IQ и \хк\>1/М.
Следовательно, интервал интегрирования в (4.4.29) можно ограничить
интервалом, содержащимся в ак <
< %к < Ьк, так как ак < хк < Отсюда функцию (4.4.27) можно записать
через новые переменные и. v, имеющие очевидный смысл, так:
Ф m,q(F {х, у)) = j ... \ J ... |агм(и. v)f[x~yv y - ^j]dudo.
(4.4.30)
Наконец, условие (4.4.29) показывает, что полиномы Р-т {х, У) степени не
выше т остаются инвариантными при операции сглаживания, т. е.
Фм.е (рт (*, У)) = Рт (X. у).
Теперь, если функция F (ж, у) непрерывна в кольце ак < хк <
< Ък, то при ак < хк <С ^ легко проверить, что
|02^Фм,а(^)|<С(?р'+ -+^Мг'+ sup |F| (4 4
ак 'xk<bk
для всех целых pi, .. ., pN, qi, . . ., qN, а постоянная С зависит от
ядра К (ж) и чисел р, q. Аналогичным образом, если F (х, у)^Ст, то при ак
< хк <С справедливы неравенства
jF-0M,Q(F)|<C?""P'" -~VN]\r41- ~QN Sllp | D%D^F | (4.4.32)
при Pi + ¦ • • + = m, ak < xk < bk.
Эти утверждения можно получить, если заметить, что из (4.4.27) следуют
неравенства
№$Фм,<г(Г)|<
< sup |F|f ... f\DlD^KMtQ (ж - i-y-
ah<xh<bh
<:: sup I F I ?P,+'' +p"M9l+- +4N f ... j I DqxK (ж) I dx X
ak<xh ibh
x I • • • J I DyK (у) I dy,
которые и доказывают (4.4.31). Далее, мы разложим функцию F (ж - и М, у-
v/Q) в ряд Тейлора в окрестности точки u~v = = 0 до членов порядка,
меньшего т, с какими-то остаточными членамн. Так как Фм,о сохраняет
полиномы степенп ниже т, то только остаточные члены этого ряда Rm (ж, у,
и, v) дадут вклад в разложение F- Фм_ q(F) = (/- Фм, q)F. Эти остаточные
члены
4. СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
209
могут быть оценены с помощью неравенств (pi + ... + qs = тп)
\ у) \<СsupQ Pl - PNM 41 " 9iV | Dl^F (g, rj)|,
где pi + ... + pa + qi + ... + qN - тп и
С = N sup f ... j | uV ... unv^1 ... v^Ki,! (и, v) \du dv, P.+...+9W=m
что и доказывает неравенства (4.4.32).
Замечание. Для ah < xh < bh при pi + ... + pN - т, qi = = ... = qN = 0 мы
имеем
5* = | S (Фм.д (F (х, у))) | < -? I °Уфмл (F) lo < СС ^ | F |0,
и, выбирая Q 1/е, о = х + 1, отсюда, следовательно, получаем
Можно также показать, что функция К (х), обладающая упомянутыми
свойствами, действительно существует (см. [26]).
Теперь мы переходим к рассмотрению итерационной процедуры в процессе
приведения отображения к линейному виду отображения кручения Мозера.
Лемма. Рассмотрим отображение
при \хк - а*| < 1/ЛГ"_1, удовлетворяющее уже упомянутым выше
условиям
где
lh~Xh\<-%; \Чк-Ук\<-^-, KI<1-
