Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
имеет инвариантные множества, близкие к инвариантным множествам (торам)
отображения Г0.
Рассмотрим Го, определенное в кольце 0 <Cak^xk^bk (к = = 1, ..., N), при
условии
Торы 1'х, являющиеся прямым произведением N окружностей хк = const,
инвариантны относительно отображения Г0. Рассмотрим теперь отображение
Г", где Fk и Ск - ограниченные и 2л-пе-риодические по г/i,..., уК
функции. Предположим, что каждое замкнутое ограниченное множество,
близкое к TN и представленное в виде
хк = U(y 1, • •Vn) = U{y 1 + 2л, ..., yN + 2л), (4.4.11)
пересекается со своим образом при отображении Г", где функции dfjdyj
удовлетворяют некоторым условиям ограниченности. При сделанных
предположениях теперь можно показать, что отображение Гц имеет
ограниченные замкнутые инвариантные множе-
4. СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
203
ства при достаточно малых значениях функций Fk и Gk и при условии, что
эти функции являются некоторое число раз дифференцируемыми.
Здесь мы только дадим схему доказательства этой основнсй теоремы, начав
изложение с некоторых важных лемм. При N = 1 детальное доказательство
было дано Мозером [26].
Теорема. Для данных в>0 и целых s>l отображение Т№ имеет ограниченное
замкнутое инвариантное множество
где р и. q- N-мерные векторы, периодические по каждой компоненте
у\,...,уя вектора у, принадлежащие классу С' и при IРк\s+ |Qk\s<b,
удовлетворяющие условиям:
а) каждое замкнутое множество и его образ при отображении, 7^,
определяемом формулами (4.4.10), имеет хотя бы одну общую точку,
б) в кольце 0 ^ ак ^ хк ^ bk, bk - ак 3* 1 можно найти такое Со > 1,
что
Тогда можно найти такую функцию /0(в, s, С0) >0 и. целое число m(s), что
Fk^C'n, Gk^Cm и
Более того, отображение, индуцируемое множеством (4.4.11), имеет вид
при всех одновременно не равных нулю целых числах fk существуют
инвариантные множества (4.4.11) с ak(x°) = ah(коэффициент кручения).
В теореме использовано обозначение
где s = S[ -)- .. . -)- sn, а х е D- область определения функции /(*)¦
У = У° + Р(У°), x = x° + q(y°), (4.4.12)
I I оЧ- | ! о <с б0,
|afc|o + |Gk|m< Cq.
(4.4.13)
Ук ~ У к + ctfe (х°) - l/ft -f- ak.
(4.4.14)
Точнее, для данного ак, удовлетворяющего условиям
ак(а) + е < ак < ак(Ь) - в,
(4.4.15)
(4.4.16)
204
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
Сначала можно доказать такое вспомогательное утверждение. Лемма. Данное
отображение
{*;.л (Ь=1,...,Л),
I Ук = У% + xk + fk (х, у)
определенное в кольце 0 <С ак ^ хк ^ Ьк, где /*, - 2п-периоди-
ческие по каждой компоненте У\, ..., Уя вектора у функции, bk-ak> 1/Со и
а)
б)
где
1/Ь + Uli < s0,
|Я"Д| + \Dmgh\ < Со,
I д YN ( 5 '\91 (9 \gN
\аЖ1 / ' ' ' J j ' ' ' )
(4.4.17)
(4.4.18)
и/ш -\~Px-\-q\-f-... "bffw-mi
в) ah + в < ak < bk - в,
r)
N
jkah ~Г 2л/у+1
h=1
( Я ) -a+N+3/2
2 I /ft I
U=1
(o 5- 2N 4-1) - целое число), можно привести к виду
" I xl =
vo 1 *
I J/ft - ^/ft + xk-
Это прпведепие ложно осуществить с помощью итерационной процедуры, очень
похожей на процедуру, использованную при доказательстве теоремы
Колмогорова. Однако в данном случае итерации сходятся таким образом, что
отклонение от Qq уменьшается
вместе с So , где п - номер итерации, a q может быть взято равным 4/3.
Действительно, пусть три параметра Q, М, б удовлетворяют соотношениям
при
М = (?'->(>> 1, б = M~2q
v = 6(a + l), m=3 + llv. (4.4.19)
ч- 3
Параметры Qn-1, Mn-h 6"_i, получающиеся при итерации номера
4 СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
205
п - 1. связаны с Q, М, б соотношениями
Q = Q4n-u Qn-i = Qf~1'
М = Mn-i, мп-х = мТ~\
6=6(r)-,. бп_! = б?
при условии, что на каждом шаге
I fk |i + \gk |i < 6n-i при \xk - ah\<~-, (4.4.20)
71 - 1
+ <4.4.21)
при ?) + • • • "Ь Цп + Pi "Ь • ¦ • "Ь Pif = m-
При n- 1 соотношение (4.4.20) совпадает с (4.4.17) при достаточно малых
б. Более того, беря Д/о> 1/в и |а\- а"| < ЦМо<С.
< е, мы, разумеется, имеем ак хк ^ bk. Аналогичным образом
соотношение (4.4.21) при п = 1 совпадает с (4.4.18). Действительно, из
(4.4.18) следует, что
\D-Qoh\+'\DmMQgk\ < С0М0, так как М > Q. Таким образом, в силу того, что
?i ~Ь • • • + ?"¦ ~Ь Pi ~Ь • • • + Ря - т ^ V, gt+...-1-gjV Pi+. ¦¦+Рдг "
ЛТ
(Jo дао ^ у о > Vo -Э* да о*
получаем
г Л Т ^ г nQi+...+QN.TPi^ --+PN ^ + РЯ+1
С0-1/0^^оч/о Л* о л/о
так как Qq > Со- Следовательно, при п = 1 мы должны взять М0 > 1/е и (>о
> ^о, т. е. б0 < е2?, б0 < Со 2дх'. и в конце концов 6о можно взять
"много меньшим, чем" выписанные выше величины.
Теперь мы подходим к доказательству основной леммы, которая нуждается в
упоминании двух хорошо известных утверждений. А) Рассмотрим разностное
уравнение
S(y+a)~S(y)=F(y), (4.4.22)
где 5 и F - периодические функции периода 2я по каждой компоненте у 1,
..., ук вектора у и они имеют нулевое среднее. Пусть вектор а
удовлетворяет неравенствам
N
i jhah "Г 2П]х+1 k=l
С N \ - T+W-H/2
>е(2|Ц , (4.4.23)
206
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
где т > 2N + 1 - целое число. Тогда, если функция F (у) имеет х > 2N + 1
