Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
2я. Такое отображение полностью определяется системой уравнений (4.3.7).
Пусть при т=0 имеются
начальные условия х - х0, у = г/о, лежащие в области D, а соот-
ветствующее решение уравнений (4.3.7) имеет вид
х = <р(т, х0, г/о, ц), У = ф(т, Хо, г/о, fx). (4.3.8)
Тогда отображение Т" определяется формулами
х* - ф(2я, х, у, ц),
у* = f (2я, х, у, н). (4.3.9)
При |х = 0 отображение То имеет вид
х* = фо (2я, х, у) - ф (2я, х, у, 0), у* = г|з0 (2я, X, у) = ф (2я, X, у,
0),
3. ТЕОРЕВ1Ы МОЗЕРА
199
где фо и тро можно сразу же выписать в явпом виде. Действительно, при ц =
0 гамильтониан К ~ Kq(x) и, следовательно,
у (т, хй, уе) ¦= уй + т, х (т, х0, у0) = хи,
где
сог'= (xi, х2 (г/i. у.г, хх)) = сог {х), i
а отсюда оц/сог = со (ж). Считая а (х) = 2лсо(ж), отображение Т0 можно
записать в виде
х* = х, у* = у + а(х),
что в точности совпадает с видом отображений, изученных Мозером.
Отображение Т^ в конечном счете может быть записано в виде
х* - г/, ц)
* , мх ш v (4.3.10)
У* = У + а(х) + цР{х, у, II),
а величину х можно считать определенной в кольце 0 < а ^ =?1 х ^ Ь. Ясно,
что отображение (4.3.10) сохраняет площадь, т. е. площадь dx dy
инвариантна относительно Г". С другой стороны, легко видеть, что, в силу
сделанных предположений, функции G и F периодичны по у с периодом 2я.
Если в данном кольце имеем а'(х) > 0, а а(х) удовлетворяет условию
j а---2п | > \т312~а1
где о - целое число, большее четырех, т и п ф 0 - целые числа, то теорема
Мозера [26] гарантирует, что при достаточно малых р отображение 7V имеет
инвариантные кривые, близкие к окружностям х* = const, которые являются
инвариантными кривыми отображения То- Другими словами, инвариантные
кривые отображения То мало изменяются при малых возмущениях.
С другой стороны, если существует интеграл J(x,y) = const, то, очевидно,
J(x*, у*) = /(х, у) и, следовательно, кривые J(x, у) = const являются
инвариантными кривыми. Это дает необходимое условие существования
интегралов системы (4.3.7), близких к интегралам х = const при ц = 0.
Наконец, посмотрим, как условие а'(х)ф0 выражается в терминах исходного
гамильтониана. По определению
дН"
200
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
Таким образом,
da ___ 2л
dx j
(Ш&У
\ дх2 )
дхо
дх^
д2Н0 dx2 dxxdx2 dxx
дНЦ dWn 0xl l дхгдхг
ЬгНn dx2 ftr, dxr
Но из определения Я0(хь x2) - h следует, что
внл
или
и, следовательно,
дх,
dx3 dx,
дН0 dxn g
0хг dxj
дН"
дх.
da_
dx,
где A - определитель:
A =
(дНо V \ дх2 j
т, '
А i-м - *>),
ашв <^нп
dxf dxxdx2 дху
д'Но rt>Ha diU
СХ^Хо ?Х1 dx2
<>Н± 0
ох1 Х2
(4.3.11)
который должен быть отличен от нуля. Это условие является менее жестким,
чем условие, рассмотренное Колмогоровым [17], а в действительности оно
было получено Арнольдом [3] в его теореме. Здесь оно является следствием
гипотезы Мозера [26] !).
4. Системы со многими степенями свободы
Рассмотрим аналитический (в некоторой области) и 2д-нери-одический по
каждой компоненте У\, .., уп вектора у гамиль-
тониан
Н - Н0 (ж) 4- jj,#j (ж, у). (4.4.1)
При ц = 0 условно-периодические решения
yh = Qh (ж0) t + г/l, хк=х\ (к = 1, ..., п), (4.4.2)
лежат на торе Т", и поток является эргодическнм. Вдоль каждого
') См. примечание в конпр ? 4 (прим перев.).
4. СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
201
решения системы уравнений, соответствующих гамильтониану
(4.4.1), мы имеем
Н (х (t), у (t)) = h = const.
Предположим, что дН/дхп?=0. Тогда мы можем решить уравнение II = h
относительно хп и найти
хп /(-^ь * • ч Хп-i, Уп, h, Hj)- (4.4.3)
Обозначая уп = т и исключая из уравнений время t, имеем
df - ^______д_
' дук ' Ук dxh
где
/ f (хЬ * ¦ ч ЗСп- 1, ?/l) * • *? Уп-\ч М*) •
Если фупкция Н аналлтцчиа, то функция / также будет ана-литична. Опять
изучение решений системы (4.4.4) может быть сведено к изучению
определяемого системой (4.4.4) отображения Г(1 плоскости т = 0 в
плоскость т = 2л. Действительно, пусть в плоскости уп = т = 0 выбраны
начальные условия xnh, г/5) (к - = 1, ..., п-J). Решение уравнений
(4.4.4), проходящее через точку при г - 0, будет иметь вид
xh = Хъ (г. ха, у°, и).
\ о о \ (* = 1, п - 1), (4.4.5)
Ук Ук (*> * , U > И)
и, следовательпо,
(|к_4.......
I. г/& =^(2я, !/, ц)
С другой стороны,
202
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
Положив ak = 2лОJQn, получаем (к = 1,..п - 1)
(4.4.9)
(4.4.10)
где переменные хк берутся из кольца 0 < ah ^ хк ^ Ьк. Ясно, что функции
Gk и Fk зависят от ц и должны стремиться к нулю при ц->0.Так как система
уравнений (4.4.4) является гамильтоновой, то отображение Гц сохраняет
площадь. Если существует первый интеграл системы (4.4.4), то он является
инвариантным по отношению к отображению Гц. Более того, периодические
решения периода 2яр, где 0 - целое число, должны быть таковы, что
т. е. точка (ж0, у0) является неподвижной точкой отображения На
геометрическом языке теорема Колмогорова теперь может быть сформулирована
в следующем виде. Мы хотим определить, при каких условиях отображение Т"
