Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
инвариантными кривыми, сколь угодно малыми, т. е. она устойчива. Такие
кривые покрывают область ненулевой меры, и начало координат для них
является точкой накопления. Однако они не покрывают целиком любую
заданную окрестность начала координат. Между ними существуют зоны
неустойчивости, получающиеся из-за существования таких окрестностей, что
величина а (г) соизмерима с 2я (см. [3]). В действительности под
действием возмущений от членов высшего порядка часть окружностей
переходит в четное число неподвижных точек, половина из которых - точки
эллиптического типа, а половина - гиперболического типа [5]. Из точек
гиперболического типа рождаются орбиты, известные под названием
"хаотических движении", как и предполагалось в работах Пуанкаре и как
недавно показал Денби [7].
Рассмотрим сначала систему с двумя степенями свободы \п = 2). Условно-
периодические орбиты описываются формулами
Тор Т2 можно получить двумя путями: как прямое произведение двух
окружностей с радиусами хх и х2 и с помощью квадрата в плоскости у 1,
г/г. Второй путь проще и лучше обозрим в многомерных случаях. Если
значения уi и у2 брать по модулю 2л, то можно отождествить
противоположные стороны квадрата, т. е. точки (0, у2) и (г/i, 0) с
точками (2я, г/г) и (у{, 2я) соответственно. Таким образом, тор имеет
классическое определение через соотношение эквивалентности. Траектории
являются отрезками прямой линии, наклоненной к оси у\ под углом сог/соь
Ясно, что если величина сог/wi иррациопальна, то траекторрш покрывают
весь квадрат и являются условно-периодическими (эргодичесгаш поток). В
любом случае решения остаются на торе, который, следовательно,
инвариантен по отношению к потоку.
Если предположить выполненным условие Колмогорова
то отсюда следует, что для аналитической функции Н = Но + цН\, достаточно
малых |х и для всех coi, ы2, рационально независимых и удовлетворяющих
условию |miCDi-j-m2cD2| ^ К при всех не обращающихся одновременно в нуль
целых my, т2, существуют инвариантные торы
3. Теоремы Мозера
yk=(r)k(4,4)t + yl хк = х°к (к = 1,2). (4.3.1)
xk = A>(YuY2). у*=?к + Ф,(ГЬ У2) (* = 1,2),
3. ТЕОРЕМЫ МОЗЕРА
197
а решение на каждом торе определяется формулами Yk = a>ht -f-+.У*. Этот
факт можно выразить иначе, сказав, что эргодический поток может быть
непрерывным при возмущениях.
Сведение этой проблемы к изучению сохраняющего площадь отображения
множества на себя дает определенные преимущества, которые следуют из
геометрических свойств такого отображения. Проводниками геометрической
линии исследования являлись Пуанкаре [31], Биркгоф [5] и Мозер [24, 26,
27].
Рассмотрим задачу Мозера о сохраняющем площадь отображен нии кругового
кольца на себя. Для данного кругового кольца А {0 ^ а ^ г ^ Ь} рассмотрим
отображение
где da/dr >0, rei,
Такое отображение не изменяет окружностей, а просто вводит поворот'па
угол со (г), увеличивающийся вместе с г. Рассмотрим1 теперь возмущенное
отображение
где |F(r, 0) | < со (г) для всех 0, |G(r, 0) | < г для гб4и периодических
по 0 (периода 2я) функций F, G. Тогда можно показать, что при некоторых
условиях на со (г), F, (? и прп Uo и U,-сохраняющих площадь, отображение
U (отображение кручения) имеет замкнутые инвариантные кривые, которые
близки к инвариантным окружностям отображения Uq. Одним из существенных
условий является то, что величина со должна быть несоизмерима с 2л. Связь
этого результата с консервативными системами с одной степенью свободы
очевидна. Действительно, инвариантными множествами интегрируемой
одномерной гамильтоновой системы являются окружности.
Теперь рассмотрим систему с двумя степенями свободы, соответствующую
гамильтониану
Н = Н0(хи х2) + \i{Hu(x 1, х2) + Hit(xu х2, уи г/2)},
который аналйтичен в некоторой области D фазового пространства и
периодичен (с периодом 2я) относительно у\ и у2, а | < Цо,
где 0 < Цо < 1. Пусть условия теоремы Колмогорова выполнены, и в области
D справедливо: дН0/дх2фО. Следовательно, можно решить уравнение
(4.3.3)
Но (Ж], х2) + \iHi (xh х2, г/i, у2) =h - const
198
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
относительно х2 и наитд
Х2 = К (#1, у 1, г/2, h, ji), (4.3.4)
где К-аналитическая функция в некоторой области D'{(xi, Ц}; |ц|< Цо} и
она периодична по у\, у2 с периодом 2л. Тогда можно разложить К в
степенной ряд относительно ц. В действительности нам достаточно знать,
что при сделанных предположениях можно написать
К = K0(xuh)-\-\iKl(xu у\, г/2, h, fi). (4.3.5)
Теперь, исключив переменную Х2, можно также исключить из системы время.
Действительно,
dxA __ дН\дН______ дК dyt ______ дн\дИ______дК ,, " д.
dyljdx2 dyi dy2 dxjdxz '
где К определяется формулой (4.3.5). Определим величины г/2 = т, хх- х,
г/i = у,
так что, обозначив штрихом дифференцирование по т, имеем систему
= ^ S- (4-3.7)
с гамильтонианом
К = К0(х) -f \iKi(x, у, т, ц).
В пространстве переменных х, г/, т изучение решений системы (4.3.7) может
быть сведено к изучению отображения Т" плоскости т = 0 в плоскость т =
