Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джакалья Г.Е.О. -> "Методы теории возмущений для нелинейных систем" -> 50

Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем — М.: Наука, 1979. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): metoditeoriivozmusheniya1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 109 >> Следующая

Проще говоря, теорема Колмогорова утверждает, что если функция Н0
невырождена, то при достаточно малых аналитических возмущениях множество
ненулевой меры инвариантных торов, определяемых Н0, не разрушается, а
лишь слегка деформируется. Однако переход с одного тора на другой не
может быть получен непрерывным преобразованием, так как необходимо
пересекать зоны рациональной зависимости частот соц.
ж = жи + /ш(т])> У = *1 + ^(Ч),
152
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
Необходимо, однако- отметить, что условие, налагаемое на#о, можно сделать
менее жестким и только предположить, что *)
I д>Н0 дщ
det dx.dxj дх. i
дН0
дх. 0
3. Вырожденные системы
В тех случаях, когда упомянутые условия для Но[ х) не выполнены, или в
простейшей ситуации, которая встречается в теореме Колмогорова, когда
матрица {Су} является особенной, а условия иррациональности (3.2.4)
остаются справедливыми, доказательства Арнольда или Баррара не годятся. В
раннем варианте своего доказательства [9] Баррар указал возможный способ
исследования случая, когда гамильтониан имеет вид
Я = А0 2 + А И + V-Hi (У, я), (3.3.1)
Й= 1 j=OT-)-l
где А0 - постоянная величина, а ц - постоянный параметр (0 < =5 [г <1).
По сравнению с исходным гамильтонианом, записанным в виде
Н = Н0 (х) -f- ^ [Я18 (ж) -)- Н1Р (у, ж)], (3.3.2)
причвм
<§Hlpdy = О,
частоты a>k определяются теперь формулами
(к = 1,
со.
(/' = т + 1, ..., гг),
О
и предполагаются выполненными неравенства
2 ikah + ^ 2 /г(r)г
й= 1 1
2
p=i
ip
-п-1
для всех не равных одновременно нулю целых чисел /Р. Известно, что мера
всех а>к (к = 1, ..., п), не удовлетворяющих этим
>) См. примечание в конце § 4 главы IV (прим. перев.).
3. ВЫРОЖДЕННЫЕ СИСТЕМЫ
153
условиям, меньше Кдц, где К - надлежащим образом подобранная функция от
о*. Введем новое предположение
для x=x°^D. Если функция H\v достаточно мала, то существуют условно-
периодические решения системы, соответствующие гамильтониану Н, и они
имеют вид
где к = 1, ..тп; / = тп + 1,..п; i = 1,..., п. Функции фЛ, ср,-, имеют
одинаковый вид. В действительности доказательство осуществляется
приведением гамильтониана (3.3.2) к виду (3.3.1) с разложением в ряд
Тейлора и применением бесконечного числа канонических преобразований,
уменьшающих на каждом шаге величину Hi (ух х). Можно показать, что этот
метод будет сходящимся при п- 2, m=i. Сходимость, однако, не может быть
равномерной ни по отношению к и, ни по отношению к ж0.
Теорема Арнольда [7] является гораздо большим достижением, особенно это
касается свойств сходимости. Арнольд рассматривает функцию Гамильтона
Н(у,х,г), где у = (у0,уi), ж = = (х0,х1), а у0,х0-векторы размерности п0
и уlt xt-векторы размерности щ, так что п=щ-\-щ равно числу степеней
свободы системы. Функция Н предполагается 2п-периодической по каждой
компоненте вектора у0 и аналитической в области D = {x0^.G0, |Im^0|^p,
|^i|^jR}, а e - веществен-
ный параметр и O^sCeo. Также предполагается, что существует разложение
где Н1 может бьиъ разбита на короткопериодическую Н\ и долгопериодическую
Н\ части; при этом
Н = Н0 (ж0) + гН1 (у, х) + е2Я2 (у, х, е),
Нг = Нх (х0, жь уг) + Н\ (ж0, хи у0, уг)
и
$ H\dy0 = О,
т. е. многомерный ряд Фурье для й\ не имеет постоянного члена или, точнее
говоря, он может быть включен в Н\. Долгопе-
154
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
риодическая часть также может быть разбита на секулярную часть Hi, и
чисто периодическую (по каждой компоненте вектора Ui) часть Н1Р, т. е.
Hi = (Х0' Т) "Ь Hip (Х0' х1' У1)'
где
щ nt nt
His = К + S Vi +. S hpi'*} + 2! ^,MT,T/rfc + ...
t=l ".j=l i,j,R=l
Величины % с индексами являются функциями х0, Xij = 'k]i, а
+ 2/ift (^ = 1> • • • 1 wi)-
Предполагается также, что в области С0 выполнены условия
Тогда при соответствующих ограничениях на Н% Й1, Hi, Hi,, Hip для
произвольной постоянной Я>0 можно найти такое число Е0(К, #0, Hu G0, р,
R, С, s), что при 0<.Е<Е0,0 < е < Е\ и
\Н2\<С, |Я,| <С, \Нп\ <С,
l#ip| <С шах ([ж, |, I У! I), \Hi\<C
существуют условно-периодические решения данной гамильтоновой системы,
покрывающие инвариантные торы Т ш, погруженные в область D\, являющуюся
частью области D, и дополнение этой области Z?2, мало, в том смысле, что
mes D2<K mesZ)i.
Инвариантные множества Т ш аналитичны и мало отличаются (в некотором
специальном смысле) от торов, определяемых условиями X0h=XQha=const,
т*=т*ш=const. Векторные частоты условно-периодического движения на таком
торе имеют вид
дНп " Ши
0 " дх ' 1 * ~дх '
0 о Ти
Эта теорема, так же как и теорема Колмогорова, имеет большой
геометрический смысл. Она показывает сохранение определенных инвариантных
многообразий при возмущениях. Она также подразумевает, что эти
инвариантные многообразия могут быть параметризованы в торы1), хотя
условия невырожденности для П0 и смягчены.
>) То есть эти инвариантные многообразия топологически эквивалентны
соответствующим торам (прим. перев.).
4. ВОЗМУЩЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed