Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
1<ш))еГ(гт, рт), и по утверждению леммы 2
гт = тах(|Л(т)||Г(Рт); || 5|,т)||г(рт)).
Основной вопрос заключается в проверке справедливости леммы 2 на каждом
шаге повторного использования преобразования, определяемого в лемме 1.
Опять за деталями доказательства мы отсылаем читателя к работе Баррара
[10]. Основой служат оценки леммы 2, получающиеся из условия
^ hm+1 " ^ Ci S2
1 &7П+1 *
Выбор удобной величины L~> 1, удовлетворяющей неравенствам
Lm+1>-L2s0 = а < 1, (3.2.32)
^7П+1
дает | sm| <a2m и
. <-!______< -1____
ьт ^ Лт+2 ^ ^ш+1 ^ С0 '
что заменяет условия so ^ fe2'+3/Co и Bi^Ci/h3t+z из леммы 2. Неравенство
(3.2.32) будет удовлетворено, если положить hm= = 8/2т и L >
(23'+3/63!+3)max (С0, Ci) или L>1 в любом случае. Для исходного
гамильтониана (3.2.3) предположим выполненными оценки
I\?>(У, *) |1г(г3,р")<^,
и для выбора'соответствующего Масштаба положим г0=1. Выбрав достаточно
малое 6>0, можно показать, что sm->-0 в
в Г r0, ~ р0 j при т ->¦ оо.
Осталось доказать, что предельное преобразование, получающееся итерациями
леммы 1, удовлетворяет требованиям теоремы Колмогорова (уравнения
(3.2.17) и (3.2.15)). Результирующее преобразование очевидно является
каноническим, так как
150
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
оно является комбинацией ряда канонических преобразований. Кроме того,
суммарное преобразование Т{т) после т итераций отображает Г(гт+[, pOT+i)
в Г(гт, рт), и область его определения
мерно ограниченным, и последовательность сходится к преобразованию Т,
которое в точности равно (3.2.17).
В доказательстве Арнольда используются более строгие методы оценок, в то
время как итерации функции Гамильтона Н, с 'помощью которых здесь
определены все операции из леммы 1, аналогичны итерациям Ньютона и, таким
образом, обладают квадратичной сходимостью.
При обобщении теоремы Колмогорова на случай вырожденных систем, которое
предложил Арнольд, предполагается, что в использованных выше обозначениях
исходный гамильтониан имеет вид
где ц - малый параметр, например, порядка s (см. уравнение (3.2.4)).
Другой случай, также крайне трудный для изучения, соответствует условию
det {С*,-} = 0. Возможно, что первый случай может быть изучен аналогично
вышеизложенному случаю путем доказательства таких же лемм и теорем, но
скорость сходимости будет значительно ниже, чем в общем случае.
Общая теория Мозера [35] предполагает обширные знания многих
теоретических результатов алгебры и дифференциальной геометрии. Подход
Мозера к невырожденному случаю значительно проще, особенно если
рассматривать только аналитические возмущения, чего на самом деле не
делается. По этой причине Мозер вынужден использовать очень сложные
методы сглаживания, но, разумеется, получаются и более общие результаты.
Формулировка теоремы Колмогорова, используемая Арнольдом [6], также
оказывается более общей, чем рассмотренная выше.
Рассматривается гамильтониан (3.2.1), аналитичный в некоторой области D
фазового пространства, скажем == {| Im | < (r)^р, (к - 1, ...,
п), где G - открытое множество в Rn и
функция Гамильтона 2п-периодична по каждойиз переменныхyh. Основное
предположение заключается в условии необращения
содержит
Поэтому Г(т) является равно-
m
п
Н - Н0 -f- ^ <*>kxk "Ь 2 [KdjXj -р
k-l /-m-f-l
n n
-г A{y)+ Bh (у) xk -f- ? Chj (y) xhxj \-D(y, x), (3.2.33)
d2H
в нуль определителя ^ ^' в области D. Тогда показывается,
2. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
151
что для каждого К>0 существует М(К, р, G, Н0)^>0 такое,что если |ц//]| <
М в D, то траектории, определяемые гамильтонианом Н, таковы, что
1) Существует инвариантное множество D\ (вещественное), и если Re
Z)==Di+D2, то mes Кmes D.
2) Множество D\ состоит из инвариантных аналитических п-мерных торов
Топределяемых уравнениями
где /ш, ga - аналитические функции с периодом 2л по каждой из переменных
т]*(А: = 1, ..., п), а <о - параметр, определяющий тор Ты.
3) Движение, определяемое гамильтонианом Н, ш торе То, является
условно-периодическим с п частотами ш = (со15 ...,соп)
которые удовлетворяют неравенствам
для всех наборов целых чисел mk, не обращающихся одновременно в нуль.
Эти условия в основном такие же, что и выписанные нами выше, а условие на
Но переходит в условие на определитель квадратичной части функции Н
(относительно хк, х{), которая имеет вид (3.2.3). В самом деле, такое
условие весьма похоже на условие, введенное Арнольдом при обобщении
теоремы Колмогорова на вырожденные случаи, т. е. на случаи, когда |
d2Ha/dxsdxk\ =0. Что касается функции (3.2.3), то вырождение будет иметь
место, например, когда одна из компонент вектора х не входит ни в сумму
в квадратичную часть
2 CkjXhXj. Очевидно, что первый случай делает невозможным условие
(3.2.4), в то время как во втором случае система уравнений (3.2.13) для
определения ah оказывается особенной. Как мы знаем из теории неявных
функций, это приводит к разложениям по дробным степеням малого параметра,
здесь - ц.
