Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
нибудь образом постоянной е = е(ю) и s = ra-f-l выполнены неравенства
П
2 ihb)k
h= 1
б) матрица {С^} -неособенная. (3.2.18)
Тогда для достаточно малых в D0 функций | -4(у)| и \Bk(y)\
существует каноническое преобразование {у, х)X), имею-
щее вид
xk = Xk + Ek (Y) + % Eh](Y)XJt
* (3.2.19)
Vh - Yk-\-Nk (Y),
такое, что функции Ek, Eki- Nh 2к-периодичны no каждой компо-10 Г. E. О.
Дшакалья
п
el2
U=i
]k
(3.2.17)
146 гл. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
ненте Yj и аналитичны в области Д0, определяемой неравенства-
3 3
ми 1 | <-?-г0, | Im Yh | < -j- p0. Преобразование (3.2.19) отоб-
ражает До в Do, а в До гамильтониан Н имеет вид (3.2.15).
Доказательство этой теоремы состоит в основном в проверке того, что
применение последовательности канонических преобразований вида (3.2.6)
образует сходящийся процесс последовательных приближений при переходе от
(3.2.3) к (3.2.15), а в итоге получается аналитическое каноническое
преобразование. Теорема получается в результате доказательства ряда
основных лемм, установленных Арнольдом [6, 7]. Здесь мы ограничимся
упоминанием только двух главных лемм.
Лемма 1. Если п ненулевых частот удовлетворяют условиям (3.2.17), если
F(*) = 2 fw*h), (3.2.20)
и если S удовлетворяет уравнению
2%-ё-7 = ?(")• (3.2.21)
1=1 1-1 )
то его решение
S = - У. (3.2.22)
(к)Ф о (кт")
удовлетворяет для выбранной соответствующим образом постоянной С
следующим соотношениям:
S ||г(р-ft) ^ tf^+гГ I! F |1г(Р),
где норма || || является верхней гранью абсолютной величины функции в
кольце
Г(р) = {e~p<|zft |<еР} = {|Imi/feKp}
для всех к = 1, ..., п и 0 < h < р.
Доказательство леммы опирается на условие иррациональности (3.2.17),
которое дает верхнюю границу для делителей, т.е.
К^Г^-гфЦ. (3-2.24)
где 0 - константа, зависящая от п и s. Наиболее утомительная
2. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ 147
часть доказательства заключается в правильной оценке величин /(A)/(fcTw)
в кольце Г(р) и последующей оценке функции S и ее производных.
Необходимые соотношения получены Арнольдом в виде основной леммы [6].
Лемма 2. Рассмотрим величины
е0 = max (|| А ||Г(Ро); || Вь ||Г(Ро))
8! = max (I -A(I> ||r(Pl); №!!дР1>), *
n=r0-2h, рх = р0-4Д
и
0</г<г0/2, 0</г<р0/4.
Пусть
Г(г, р) = {|ж*| < г, | Im (yft) | < р; к=\, ..., и},
IIF (У, *) |r(r, р) = sup| F (у, х) | для всех (у, х) ge Г (г, р).
Рассмотрим оценки
max | Су | 2N,
II D(y, x) ||r(ro, p., < 2M, I Ckj ||г(Ро) < 2M,
где Ckj - элементы матрицы, обратной к матрице (С^}. Пусть выполнено
(3.2.4) и h<Ze, f=s+re+l, 1/2 < г0 < 1.
Тогда при выполнении этих условий существуют константы Ск (&=1, .... s),
зависящие только от N, М, п и такие, что, если 8о < №'+3/С0, то выполнены
следующие условия:
а) Преобразование (3.2.6) может быть записано в виде
Vt = y'i + ft iy') = Fi{y'),
xi = x'i + gt {y') + 2 gii iy') Xj = Gt (yx'), (3-2-25)
j
где функции Fu G{ аналитичны при у' еГ(pi), а
"/,Цг(Р1>< 2fc, ||^.||Г(Р1)<-^, (3.2.26)
и отсюда следует, что преобразование (3.2.25) отображает Г(гг pi) в T(r0-
h, ро-2h). Кроме того, et ^ ^f+з 8°~
б) Новый гамильтониан определен для всех у', х'из Г (п, pi)1,
и
II 1г(Р,) ^ II Си 1[г(р0) + hC2, (3.2.27)
II Dw (у', х') lr(ri,Pj) < ID {у, х) ||Г(г",,Ро) + hC3, (3.2.28)
I (0) - Си (0) !<(-?- + СБ) h. (3.2.29)
О*
148
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
Детальное доказательство этой леммы приведено в работе Бар-рара [10].
Сначала используется лемма 1 для оценок
где С', С", С" - постоянные, зависящие только от N, М, п. После оценок
величинУ, Pk, ah в Г(р0-h) проводятся оценки У* (из (3.2.14)) в Г(ро -
2k), получающиеся из леммы 1 в виде
max 1 Уц|г(р.-2Л)<^?.
N ау || cve (3.2.31)
max
II yJ |г{Ро -2ft) h2t+A
где опять постоянные C1V¦ CY зависят только от N, М, п. Затем
используется теорема Рушо для того, чтобы показать, что
max !|Уь|1г(р0 -2Л)<2А.
Тогда преобразование (3.2.26) будет иметь обратное
Уг = у\ +fi(y'),
где
II /< 11 г(ро-2Л)<^ 2 h,
и оно отображает Г (pi) в Г(р0-2h). Легко также видеть, что функции fi
(у') являются 2я-периодическими по каждой из переменных Уь, так что
утверждение (а) леммы получается введением величины Со - max (С', С",
С"', C1V, CY, га + 2), и, следовательно все величины
dY IdY;
max т- , max
дУи II дУи
в кольце Г(ро-2h) меньше, чем h/(n-\-2). Аналогично, если у'еГ (р2), то
из утверждения (а) следует: у <= Г (р0 - 2к). Все остальные оценки из
утверждения (б) леммы 2 также следуют из простого использования формулы
Коши и неравенства Шварца.
Доказательство теоремы Колмогорова. Предыдущие леммы сразу же приводят к
доказательству теоремы. Действительно, гамильтониан Н, записанный через
у, х из Г (г0, ро), переходит в гамильтониан такого же вида, но зависящий
от у , х' из Г(г0 - 2h, ро - 4h). Затем эта операция (определенная в
лемме 1
2. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ J49
и удовлетворяющая оценкам из леммы 2) повторяется. Введем определения
?г.1 Г тп 2Лщ+Ь Р(tm)-:-1 Р?п 4Лт+1 •
На m-м шаге гамильтониан Н определен в пространстве переменных (у<-т\
