Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
Можно предположить, что частоты системы ык фиксированы, и проаппрокси-
мировать решение на неизвестный тор, определяемый в пространстве, в
котором частоты в точности равны заданным. В полном доказательстве
теоремы, данном Арнольдом [6], частоты со* не
142
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
являются фиксированными, а становятся меняющимися на каждом шаге
приближения функциями действия. Упрощенный вариант теоремы Колмогорова
был предложен Барраром [10]. Этот вариант сразу же приводит к некоторым
следствиям в задаче представления Пуанкаре метода Линдстедта.
Первоначально требовалась аналитичность функции Я, но Мозер [33] показал
достаточность существования некоторого количества производных функции Я.
Однако это требует применения процедуры сглаживания, которая будет
обсуждаться в следующей главе.
Рассмотрим систему с гамильтонианом вида (везде суммирование проводится
от 1 до п)
где Я - аналитическая по всем переменным и периодическая (периода 2я)
функция переменных ук, Я0 - некоторая постоянная, функция D содержит
степени не ниже третьей относительно хк, а величины со,, удовлетворяют
условию
при s = n+l7 при всех целых jh и при выбранной некоторым образом
постоянной е(со).
Рассмотрим далее каноническое преобразование (у, х)^-(у', х'),
определяемое производящей функцией Гамильтона - Якоби
Н(у, х) = Я0 + 2(r)Л + А (у)
к
+ 2 (у) xh -f 2 Chj {у) xhx} + D (у, ж),
(3.2.3)
к
к,з
(3.2.4)
S {у, х ) - 2 (xh + ) Ук + Y (у) + 2 хьУи {у)-'
(3.2.5)
к
к
где ак - постоянные, так что
является пеособенной для у, из некоторой окрестности точки У\, можно
получить
Vi = Fi (У') = y'i + {у'), (3.2.
(3.2.7)
2. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
143
и, следовательно, преобразование (3.2.6) обратимо. Подставляя xt из
(3.2.6) в (3.2.3), находим
Н = Н0 + 2 + 2 + "(0) + ^4* (У) +
k k
+ 2 Bh (у) xh + {у') + 2 в^ (у) %k +
k k
+ 2 c$ (yr) xkx) + Dw (y', x% (3.2.8)
h,j
где (6ij=0, ъфу, б;;=1)
А* {у II
Bh {у II
А(1)(у' -2 h,j
Вk" (у' = 2 ij
с$ (У' = си
Dll)(y', х' = о(
D0 (У Dt (У
Du{y
SY"
Bk (if).
I an "I- ^Z~\ {^i + ^7) + Do (У)*
Oy dl
dVi j fyj
2'
ft,I
дУ\^1±л ] ду, 1
dY. dY,
417 oyh oyx
dY vi ,01%
(jf),
(3.2.9)
5 I - A> (y) -
- 2 А Ы ^ - 2 Dt} (y) x\xh
-D(!,'a+§-)'
-yj*w
dy, \ / " , aFi \ d2? Oi 1 -7
&У
m
h,l
oyh
Jil
dy{ dxhdxl
. dY , a + -5- •
Здесь у надо заменить на у' согласно (3.2.7). Цель введения константы
а(о> будет объяснена ниже. Надо обратить внимание на то, что величины А*
(у) и Bh (у) являются величинами первого порядка относительно ак, Y, Yh,
которые полагаются малыми в некотором специальном смысле. С другой
стороны, величины Л(1) и Вь1* являются величинами второго порядка по
отношению к тем же переменным.
144
ГЛ. III ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
Целью метода является уничтожение величин A*, B*h, с помощью
соответствующего выбора Y, a*, Yk(k-1, ..п). Это можно сделать следующим
образом. Введем величины
Zj = еЧ
Тогда, в силу сделанных относительно II предположений, в частности, имеем
Л (и) = 2 аке^у) = 2 (3.2.10)
k k
где к={ки ..., кп), (кту)== kxyi-\-...-\-knyn, = z?1 ... z*n- В
си-
лу тех же предположений, имеем
У (У) = S F(ft)z(ft), Г, (у) = S (3.2.11)
кфО Ьф О
Считая А* {у) = 0. из первого соотношения (3.2.9) находим
2<°< §г = 2 ^ - 2 2 V*'=
J j 1 7 ЬфЪ
= 2 i (wTfe) r(ft)z(ft> = 2
или
y(ft> = -i((c)Tfc)-iaft, (3.2.12)
что и дает определение Г и a(0). Теперь из второго соотношения (3.2.9),
определив
<7w"ScSJ>'n
г I
И
находим, что а; и определяются уравнениями
2 C^ah + Р$0> + Я(,0) = 0 (3.2.13)
h
И
i (wTfc) Y?> + Pf > + Bf + 2 cfat = 0 (3.2.14)
соответственно. Разумеется, надо предположить выполненными яекоторые
условия, а имевно:
2. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ 145
а) величины (<aTfc) не должны обращаться в нуль (для того чтобы
выражения (3.2.12) имели смысл).
б) определитель {С^] не должен быть равен нулю, чтобы уравнения
(3.2.13) имели решение относительно вектора а=
(аи • > ссп),
в) для получения констант из уравнения (3.2.14)
должно быть выполнено условие (а).
Также очевидно, что если А (у), Bk(y), Ckj(y) имеют конечное
тригонометрическое представление в виде полиномов Фурье (относительно У
), то производящая функция S, определяемая формулой (3.2.5), также
является полиномом Фурье относительно у. Описанную процедуру можно
повторить и после применения последовательных канонических
преобразований; в пределе исходной гамильтониан примет вид
Н = 2(r) А + 2*м (Y) ВД + A (Y, X), (3.2.15)
k k,j
где в А содержатся члены не ниже третьего порядка относительно компонент
Хк вектора X. В этом случае система допускает решение (к- 1, ..., п)
Хк=0, Yk=ak(t-th). (3.2.16)
Теперь можно сформулировать теорему Колмогорова в следующем упрощенном
виде.
Теорема (Колмогоров). Пусть гамильтониан системы Н, имеющий вид (3.2.3),
аналитичен в области D0: || ^ г0,
|Imi/ft| < ро и удовлетворяет в этой области следующим условиям:
а) для всех целых ненулевых одновременно чисел ]'к, выбранной каким-
