Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
К, (3.2.2)
140
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
где р-п~г 1, все целые числа kt одновременно в нуль не обращаются, а
число if(cob ..., (r)п)>0 выбирается соответствующим образом (см. [24]).
Следовательно, для множества значений (Oi, ..., (о", имеющего ненулевую
меру, в классической теорпи возмущений все знаменатели ограничены снизу
по абсолютной величине. Тем не менее, даже этого недостаточно, чтобы
гарантировать сходимость рассматриваемых рядов. С другой стороны, так как
мы считаем, что частоты a>h являются непрерывными функциями хь, то
непрерывное изменение этих последних величин неминуемо приведет к
резонансным значениям и выше упомянутые ряды в любом случае не могут быть
непрерывными функциями х°к, т. е. начальных условий задачи. При некоторых
ограничениях на Н\ можно установить сохранение условно-периодических
движений, и первая теорема, относящаяся к этому вопросу, была предложена
Колмогоровым [25]. При доказательстве теоремы Колмогорова Арнольд писал
[6]: "Простая и новая идея, комбинация весьма классических и вполне
современных методов, решение 200-летних проблем, ясная геометрическая
картина и широкие горизонты - таковы достоинства этой работы". Это
действительно так, ибо ранние результаты Пуанкаре рассматривались в
слишком общей форме, и думалось, что они оставляют только небольшой шанс
на то, что динамическая система будет интегрируемой.
Можно только предполагать, что неинтегрируемые системы образуют плотное
множество, скажем, в пространстве всех функций Гамильтона. Однако никаких
предположений о плотности интегрируемых систем в нашем распоряжении нет.
Если они, по крайней мере, также плотны, как множество рациональных чисел
на отрезке, то мы можем по-прежнему сказать, что существует крайне мало
интегрируемых систем. В действительности рассматриваемая проблема похожа
на задачу п тел, на ограниченную задачу трех тел, на задачу о
несимметричном волчке и т. д., в которых только доказана
неинтегрируемость в том смысле, что в каких-то частных координатах и в
каких-то частных случаях не существует общих интегралов или даже, в более
специальных случаях, не существует алгебраических или аналитических
интегралов (см., например, [43, 40,36,38]).
Простейший вывод, который можно сделать из теоремы Колмогорова,
заключается в том' что при выполнении условия невырожденности |
д2Н0/дх21Ф 0 при малом аналитическом возмущении большинство инвариантных
многообразий (торов), определяемых функцией //0, не разрушается, а лишь
слегка деформируется. Термин "большинство" подразумевает нигде не плотное
множество, дополнение которого имеет меру, малую вместе с в.
2. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
141
Действительно, в любой окрестности инвариантного тора не-Бозмущенной
системы есть инвариантный тор, на котором все траектории замкнуты, т. е.
частоты а>к рационально зависимы. Однако при малых возмущениях эти
инвариантные торы разрушаются. В любом случае для систем с больше чем
одной степенью свободы ничего существенного о поведении траекторий в
течение длительного времени (асимптотически) не известно. Для
консервативной системы с двумя степенями свободы многообразие,
определяемое интегралом энергии, является трехмерным и содержит двумерные
инвариантные торы. Это - максимальная размерность, при которой промежуток
между двумя такими торами конечен и замкнут, т. е. траектории,
начинающиеся в этой области, будут оставаться в ней все время. Для
больших размерностей это в общем случае неверно.
Как уже упоминалось выше, для формальных рядов, получающихся при
приведении гамильтониана к виду, зависящему только от переменных
действие, вопрос о сходимости встает главным образом из-за появления
малых знаменателей. Как отмечают Браузр и Клеменс [14], сходимость этих
рядов зависит от того, насколько быстро уменьшаются числители с
увеличением порядка приближения (по мере того, как все большие числа
входят в комбинации (3.2.2)). Это подразумевает, что метод
последовательных приближений должен быть устроен так, чтобы увеличивалась
скорость уменьшения этих числителей. Вероятно, это один из наиболее
важных аспектов, описанных Колмогоровым в предложениях по доказательству
его теоремы. Такой метод был создан в виде метода типа ньютоновского
метода приближений, обладающего квадратичной сходимостью, в том смысле,
что ошибка n-го приближения е" имеет порядок еп-i при п- 1, 2, ... и
8i<l.
Точнее, предположим, что возмущение \у,Н\ в (3.2.1) находится в пределах:
| jx//j | <0^<1 при х.у из некоторой области D'. Если записать Hi в виде
Hi(y,x) = 2 Л H-exp(ifeV), h
где кту = кхУх +... + кпУ", то при |Imy|<Ip коэффициенты Ak (ж) убывают
как М ехр (- [ к | р). Принимая во внимание (3.2.2), для ц2Н\(r) можно
получить оценку М26Г9 при | Im у' | <1 р - 6Х. Величина Si- связана с
величиной So, такой, что М <16^ при 6о>0 достаточно малом и N достаточно
большом. Следовательно, #is)<[ Sf при | Im y(s) | < p-6s = p3<ps_i<...<p.
