Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
случае резонансные точки также плотны в фазовом пространстве, как
множество рациональных чисел на отрезке, то можно ожидать очень
запутанного п сложного поведения этих интегралов, изменяющих свой вид
бесконечно много раз на каждом конечном интервале частот, определяемом
малым параметром и (или) начальными условиями. В действительности этот
факт не будет мешать сходимости для фиксированных наборов частот,
образующих множество ненулевой меры. Однако такие интегралы не могут быть
аналитическими, а никакие их представления в виде рядов не могут быть
равномерно сходящимися или непрерывными. Все проведенные здесь
рассмотрения и высказанные предположения весьма тесно соприкасаются с
теориями Мозера и Колмогорова.
Построение интеграла Ковалевской, проведенное нами в § 6, представляет
собой редчайший случай рядов, имеющих конечное число членов, и,
разумеется, может быть осуществлено только в исключительных ситуациях.
Тем не менее, этот пример указывает на опасности, появляющиеся при
попытке дать определение 9*
132
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
интегрируемых и неинтегрируемых систем для всех возможных случаев.
Методы преобразований Ли в настоящее время весьма популярны и они
действительно представляют собой настоящий прорыв в стене классических
методов. По крайней мере, можно сказать, что они были неизвестны
Пуанкаре,- факт, в общем-то, удивительный для методов теории возмущений.
Честь введения этих новых методов принадлежит Хори. Более поздние работы
и модифицированные алгоритмы надлежит рассматривать только как обработку
и другие варианты одной и той же основной идеи. Одним из лучших примеров
использования этих методов является работа Депри и Рома [31] об основных
задачах, связанных с искусственными спутниками Земли. Кроме того, таким
примером могут служить недавние исследования Джакальи и др. [39, 40] о
движении твердого тела под влиянием центрального гравитационного поля.
Различные примеры также приводят Чой и Тэпли [16].
Пример, который мы дали при решении уравнения Ван дер Поля, с точностью
до членов третьего порядка рассмотрен в недавней работе Хори [55],
посвященной негамильтоновым системам. Этот пример является лучппш
образцом использования метода преобразований Ли в негамильтоновых
системах. Гамиль-тонизацию уравнения Ван дер Поля
х = -е (1-х2)х-х можно провести, если положить х = у\, х = г/2, так
что
2/i = 2/г, Уз - е (1 - 2/1) У г 2/и и гамильтониан имеет вид Н - zi2/i +
х2у2 - Н0 + Ни
где
Н0 = ?12/2-*22/1,
Hi = - е (1 - 2/i) ?а2/г-
Уравнения движения записываются так:
Ук Нxh' - Hyht
а дополнительная система, определяемая гамильтонианом К - == ?iil2-|2T]i,
имеет вид
ЛИТЕРАТУРА
133
и ее решение можно записать следующим ооразом:
it = a! sin (т+ = aicos (т +Pi),
rji = a2sin (т+ p2), Т]2 = a3cos (т + p2).
Из уравнения для приближения первого порядка
мы получаем
т т
Кх = lim^- \ Нх (т) йт = lim \ [- е (l - т]?2)^ - =
Х->СС "J Т-*оо
о
__ еага2
а?
l~ "f c°s(Pi - Рг)>
^1 = J [#1 (т) - ^il dT-
Полное решение задачи до членов третьего порядка приведено ц работе Чоя и
Тэпли [16].
Наконец, для более детального и всеобъемлющего понимания методов
усреднения, как с точки зрения Крылова и Боголюбова, так и с точки зрения
Пуанкаре, а также для оценки отбрасываемых членов более высокого порядка,
мы отсылаем читателя к посвященной классическим вопросам работе Мьюзена
[87] и к обширной работе Волосова [101].
ЛИТЕРАТУРА
1. Abraham R. Foundations of mechanics.- Philadelphia: W. A. Benjamin
Inc, 1967.
2. Andoyer H. Cours de mecanique celeste, (vol. I).- Paris: Gauthier-
Villars, 1926.
3. Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении
условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.-
УМН, 1968, т. 18, № 5, стр. 13-40.
4. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в
классической и небесной механике.-УМН, 1963, т. 18, № 6, стр. 91-492.
5. BarbanisB. The topology of the third integral. Intern. Astron.
Union Symp. No. 25.-New York: Academic Press, 196S, p: 19-25.
6. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы.-М.-Л.: Гостехиздат, 1941.
7. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической
физике.-Киев: Изд-во АН УССР, 1945.
8. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний.-М.: Физматгиз, 1963.
9. В о г i s G. A new integral in the restricted problem of three
bodies. Doctoral thesis, Univ. of Saloniki, Greece, 1966.
134
ГЛ II МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
10. В о z i s G. On the existence of a new integral in the restricted
three-body-problem.-Astron. J., 1966, vol. 71, № 6, p. 404-414.
11. Brouwer D. Solution of the problem of artificial satellites without
drag.- Astron. J., 1959, vol. 64, p. 378-390.
12 Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики,-М.: Мир, 1964.
13. Caley А.- Comb. Dublin Math. J., 1848, vol. 3, p. 116.
14. С e s a r i L. Sulla stabilita delle soluzioni dei sistemi di
