Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
уделяется разделению переменных на быстрые и медленные, объясняется тем,
что обычно быстрые переменные соответствуют малым амплитудам колебаний и
не влияют на медленные переменные; эволюция последних связана с большими
масштабами изменений по отношению к переменным невозмущенной системы и за
большие промежутки времени.
Во многих случаях усреднение понимается просто как процедура исключения
времени, входящего явно в уравнения движения. Тогда этот процесс
осуществляется простым взятием среднего от правых частей дифференциальных
уравнений. В действительности в методе Крылова - Боголюбова -
Митропольского это является только первым шагом. Такая процедура в
различных ее вариантах использовалась Хейлом [50], изучавшим при времени,
стремящемся к бесконечности, разницу между решением неавтономной системы
х - &f(t, х, е)
(2.10.1)
и решением усредненной системы
х - е/0 (я),
(2.10.2)'
где
т
') См. также [14*-18*] (прим. перев.).
2) См. также [83], [19*], [20*] (прим. ред.).
9 г. Е. О. Джакалья
130
ГЛ. IX. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Хейл получил условия, определяющие существование периодических решений, и
условия их устойчивости. Исходное предположение при этом заключается в
гипотезе существования преобразования
x = y + eu{t, у, е) (2.10.3)
при достаточно общих условиях, которое приводит уравнение
(2.10.1) к виду
У = е/о (у) + eF(t, у, е), (2.10.4)
где F(t, у, 0) = 0. Ясно, что близкое к тождественному преобразование
(2.10.3) приводит к системе (2.10.4), отличающейся от (2.10.2) членами
порядка не ниже О (г2). Ошибка, оцененная Кинером, в действительности
является только уточнением этой основной ошибки.
Мозер [84] ]) изучил с современной точки зрения топологию кеплеровского
движения, особые точки фазового пространства и ввел понятие усреднения на
многообразии, избежав явного использования операций с координатами. Его
существенные результаты основаны на применепии специальных методов к
векторному полю, задаваемому кенлеровским движением. Процедура
регуляризации, использованная Мозером при изучении орбит, близких к
началу координат (г = 0), была введена Леви-Чивита и хорошо известна под
названием преобразование обращения. Обычно при изучении глобального
поведения траекторий оно не используется, так как добавляет новые
особенности в тех точках, где скорость частицы равна нулю.
Предположив, что правые части дифференциальных уравнений являются
периодическими функциями времени, Ларичева [66] получила значительно
более лучшую оценку ошибки усредненных j равнений небесномеханического
движения, чем ошибка, оцененная Боголюбовым и Митропольским [8]. В своей
работе "Теория орбит вблизи сжатой планеты" Кинер [64] дал отличное
описание методов усреднения, а также, для частного примера, описание
теории периодических поверхностей Дилибер-то и ее связи с методами
усреднения. В это.м частном случае, как и ожидалось, существуют двумерные
торы, так как предполагается, что поле планеты имеет цилиндрическую
симметрию. Ки-иер также применил метод, развитый Хейлом в книге
"Нелинейные колебания" [49], для получения условий периодичности орбит и,
кроме того, построил их приближения.
Что касается применения метода Пуанкаре к гамильтоновым системам, когда
гамильтониан представляется степенным рядом
') См. также [13*] (прим. перев.).
10. ЗАМЕЧАНИЯ
131
по координатам и импульсам (как в примере из начала шестого параграфа),
то он был описан в работе Джакальи [37]. Эта проблема сначала
естественным образом возникла в теории малых колебаний, а затем в
небесной механике при использовании переменных Пуанкаре и в задаче о
резонансе. На этом пути получено некоторое обобщение понятия нормализации
Биркгофа, связанное, во-первых, с предположением о том, что имеются
произвольные комбинации координат и импульсов, и, во-вторых, с тем, что
дается более систематическое изложение самой процедуры нормализации.
Однако применение Депри [31] рядов Ли в аналогичной проблеме показывает,
что возможно более сложное и эффективное использование этого метода. Как
было показано в работе Джакальи [41] при исследовании колебательных
случаев в эллиптической ограниченной задаче трех тел, в этом случае
характеристические показатели лучше всего получать, используя метод
Чезари, развитый в его работе [14]. Очевидно, после того, как получены
выражения для характеристических показателей в виде рядов по малому
параметру до некоторого порядка, нетрудно будет использовать
преобразование Ляпунова, сводящее задачу к интегрированию линейной
системы, коэффициенты которой являются постоянными при учете членов того
же порядка по малому параметру. В этом случае проблема малых делителей из
метода Пуанкаре переходит в задачу
о параметрическом резонансе.
Построение интегралов движения с помощью метода последовательных
приближений к условию Пуассона, предпринятое во многих работах
Контопулоса, очень хорошо показывает изменение вида этих интегралов (или
квазиинтегралов) при пересечении резонансных зон. Так как в предельном
