Пути физики - Дирак П.А.М.
Скачать (прямая ссылка):
основным пунктом, который потом оказался и самым важным. Действительно,
самое значительное в механике Гейзенберга - это то, что динамические
переменные являются элементами алгебры, в которой умножение
некоммутативно.
Затем исходная идея Гейзенберга получила дальнейшее развитие, и я, будучи
аспирантом, смог принять в этом участие. Как видите, мне посчастливилось
родиться в такое время, когда все могло произойти именно так, как
произошло.
Перед нами стояла задача так видоизменить уравнения Ньютона, чтобы они
удовлетворяли алгебре, в которой ab не равно Ьа. На первый взгляд это
казалось довольно сложным. Однако задача сильно упростилась благодаря
результатам Гамильтона, которые он получил лет за сто до начала нашей
И
работы. Гамильтон исследовал уравнения Ньютона и нашел для них другой
способ записи. Тогда уже существовал общий способ записи этих уравнений,
введенный Лагранжем. Гамильтон же придумал другой способ их записи,
который сейчас называют гамильтоновой формой уравнений. Записать
уравнения Ньютона по-новому Гамильтона побудили лишь соображения
математической красоты. Он мог рассуждать, наверное, так: "Записанные в
таком виде уравнения очень красивы, но их совершенно не обязательно так
записывать. Продолжайте, если хотите, пользоваться той формой записи,
которую в самом начале ввел Ньютон".
Однако Гамильтон был, по-видимому, наделен каким-то удивительным даром
проникать в самую суть - удивительнейшим даром из тех, которыми когда-
либо обладал математик. Он нашел для уравнений механики такую форму
записи, значение которой суждено было понять лишь спустя столетие, через
много лет после его смерти.
Значение гамильтоновой формы записи уравнений Ньютона состоит в том, что
ее очень просто обобщить, чтобы включить некоммутативность. Для записи
гамильтоновых уравнений можно использовать выражение, которое называют
скобками Пуассона и обычно записывают следующим образом:
[а, Ь].
(Я не буду приводить определения этого выражения. Скажу лишь, что оно
обязательно появляется в гамильтоновых уравнениях и имеет фундаментальное
значение.) Оказывается, что скобки Пуассона соответствуют (в очень
сильной степени аналогичны) выражению
(.ab-Ьа)Г\К. (1)
Заменив в соответствии с этой формулой скобки Пуассона в гамильтоновой
форме уравнений коммутатором ab - Ьа, мы сразу перейдем от уравнений
классической механики в гамильтоновой форме к новым уравнениям, для
которых умножение некоммутативно и которые можно использовать в
гейзенберговской картине квантовой механики.
В то время можно было участвовать в интересной игре: различные модели
динамических систем, к которым мы привыкли в теории Ньютона, приводить по
общей формуле
[a, b]-+(ab-Ьа)!\% (2)
к новой механике Гейзенберга. Я не случайно употребил слово
"игра", оно точно передает то, что мы делали,-¦ мы были увле-
чены интересной игрой. Всякий раз, решив одну небольшую задачу, автор мог
писать об этом статью. В те времена даже
12
"второсортный" физик мог с легкостью сделать первоклассную работу.
Теперь, увы, другие времена: сейчас первоклассному физику очень трудно
сделать второсортную работу. Тогда мы умели сравнительно просто
переходить от гамильтоновой формы записи уравнений Ньютона к уравнениям
механики Гейзенберга. В результате в нашем распоряжении оказывались
уравнения новой квантовой механики.
Мы получили уравнения, в которые входили некоммутирующие величины, но при
этом не могли их проинтерпретировать. Таким образом, в физической теории
сложилась совершенно удивительная ситуация. (Обычно в любой физической
теории исследователь сначала понимает именно смысл своих уравнений и
только потом их записывает. Здесь же, наоборот, мы получили уравнения до
того, как научились их применять.)
Эти уравнения не сразу получили интерпретацию. На простых примерах
высказывались разные предположения. Элементы, расположенные вдоль главной
диагонали диагональной матрицы, отвечающей полной энергии, можно было
рассматривать как энергии состояний в квантовой теории. После этого можно
было постепенно отрабатывать более общие методы интерпретации.
Надо подчеркнуть, что нам было известно общее уравнение движения для
любой динамической переменной. Согласно Гамильтону, любая динамическая
переменная и должна изменяться во времени по закону
du/dt - [u, //], (3)
где Н - полная энергия в теории Гамильтона. Этому соответствует квантовое
уравнение
du/dt = (uH-Ни)!\%. (4)
Оно представляет собой общее уравнение движения для динамической
переменной в механике Гейзенберга.
Итак, мы столкнулись с необходимостью дать общую интерпретацию новых
уравнений. Этому очень помогла одна из работ Шредингера. Он (независимо
от Гейзенберга) создал собственную теорию - такую альтернативную схему
квантовой механики, которая, на первый взгляд, не имела ничего общего с
гейзенберговской теорией. Однако через несколько месяцев (Шредингер начал
работу немного позже, чем Гейзенберг) о'казалось, что теории Шредингера и
