Пути физики - Дирак П.А.М.
Скачать (прямая ссылка):
соотношения (8) и независимость переменных qa от координат х^, получаем,-
что левая часть этой суммы обращается в нуль, т. е. приходим к тождеству
0=0. Следовательно, в системе (20) только три уравнения могут быть
независимыми. Теперь важно проверить внутреннюю непротиворечивость этих
трех уравнений.
Запишем уравнение (20) в виде
{(д° + d3)q1 - dxq3 + d2qi + q3}\|з = 0; {(д° + д3) q2 + d1qi + d2q3 +
qi} = 0; {(d°-d3) q3-d1^ + d2q2 - ql} = 0; {(d°-^d3) qi + d'q2 + d^-qj ^
= 0,
(20a) (206) (20b) (20 r)
в которой использовано обозначение:
д";=д/дх11,-\1 = 0> 1, 2, 3.
(21)
Pa\j3 = 0, а= 1, 2, 3, 4,
где Р - четырехстрочная матрица-столбец: P^(d° + ardr + $)q\
(22)
(23)
(24)
68
Тогда условие непротиворечивости записывается в очень простой форме:
[Ра, Рь]-Ъ = 0> а, 6-1, 2, 3,4. (25)
Это соотношение должно удовлетворяться, если Ра^ = 0 и Pbty = 0, т. е.
ёсли одна и та же функция г|) удовлетворяет всем уравнениям (20).
Воспользовавшись соотношениями (8), симметрией аг и антисимметрией (3, а
также соотношениями (16),
(17) и (11), можно записать:
\Ра> Рь1- = [(д', + атдг + Р)ас<1с' (д° + а*д', + Р)м<7<*]- =
= (a(r)+ arar + P)e<. (д° + а^ + р)ь* [qc>4d]~ =
= (<3° + агдг + р)ас (д° + asds + Р)м i Pe<f =
= i (5° + <*rdr + $)ac Kd (д° + asds - p)db =
= i {(d° + Mr + P) p (d° '+ asds p) }ab =
= i{(54M4P)(a"-oc/-P)PU = i {(d"d(r)-d'd'+l) PU-
Таким образом, условие непротиворечивости (25) эквивалентно условию
(дд<Зд + 1) г)5 = 0, (26)
или уравнению-де Бройля для волновой функции яр частицы с массой покоя,
равной единице. Оператор
ditd" = gllvdW (27)
известен под названием оператора Даламбера. Следовательно, для того чтобы
четыре дифференциальных уравнения (20) были взаимно непротиворечивыми,
волновая функция if должна удовлетворять как этим уравнениям, так и
уравнению де Бройля (26).
Мы, естественно, требуем, чтобы новое волновое уравнение имело
рёлятивистско-правильный вид. Это значит, что оно должно быть лоренц-
инвариантным. Интересно следующее: (15) можно переписать таким образом,
что соотношение приобретет релятивистско-ковариантный вид. Введем для
этого новые матрицы
Уи = Р"ц. И = 1. 2. 3, (28)
причем
"0=1. (29)
Тогда, умножая левую часть (15) на Р и учитывая (28) и (29), мы получаем:
(Yn3M-1)^ = °. (3°)
гДе Уд удовлетворяют антикоммутационным соотношениям
[Уд> Yv]+= (31)
5* 59
Соотношения (30) и (31) выглядят релятивистско-ковариантны-ми, но их
релятивистская инвариантность тем не менее не очевидна из-за разного
характера симметрии величин у0 (антисимметрична) и уг (симметрична)
[(у")г,й=Рьа= -Рйь= -ЫаЬ
И (Уг)ьа= Фаг)ьа = hci^r)са = - Рcb(ar)ac=~ (-"""!, = (P"rU = Таким
образом, времениподобная матрица у0 отличается от пространственно-
подобных уг, образующих набор матриц
Отсюда видно, что вопрос о лоренц-инвариантности соотношения (Г5) требует
более последовательного подхода, К счастью, тест на инвариантность уже
хорошо известен. Сначала на уравнение надс подействовать
инфинитезимальным преобразованием Лоренца. Дальнейшая процедура в
точности аналогична тому, как проверялась лоренц-инвариантность уравнения
(2). Поэтому я не буду вдаваться в дета'ли и намечу лишь главные этапы.
Инфинитезимальное преобразование Лоренца переводит координаты (fx -=0, 1,
2, 3) в новые координаты
= -alxv, (32)
где действительные величины
^ Siitflv (33)
являются инфинитезимальными и антисимметричными:
ciV(l = Ядг- (34)
Соответственно, имеем:
а** "а* 4(35)
и с точностью до величин первого порядка:
d" = d>x*+4!Zdv*.- (36)
Выражение (36) можно подставить в уравнение (15), которое
мы перепишем в" более сжатом виде
(а^ + Р)^ = 0. (37)
После перегруппировки членов эта подстановка дает:
[("m! + "m.v<:zv) +Э] (38)
Если ввести теперь для удобства симметричную матрицу
N==(l/4)atlVa(ipav, (39)
то сразу станет ясно, что после перегруппировки (38) переходит в
(а^ + Р) <7*^ = 0, (40)
60
где введена величина
(41)
Однако, поскольку матрицы q * удовлетворяют коммутационным соотношениям
Wa,gl]. = ^ab. (4?)
они будут просто играть роль матриц q. Отсюда следует, что преобразование
(32), (41) сохраняет вид уравнения (37) [или
(15)1. Значит, вид этого уравнения не будет меняться при любом конечном
собственном преобразовании Лоренца.
Интересно, что переход (41) от q к q * можно переписать как
инфинитезимальное унитарное преобразование. В самом деле, в первом
порядке по степеням 'малых величин имеем:
q* = [ 1 -(1/4) q = [1 - (i/2) W]q[l + (i/2) W], (43)
где
W = (1/4) a^v qa^avq. (44)
Здесь введено обозначение:
Я = (Яи <7*. <7,. <7i) (45)
для однострочной матрицы, которая является транспонированной матрицей q,
состоящей из одного столбца. Правая часть уравнения (43) есть результат
инфинитезимального унитарного преобразования, a W представляет собой
инфинитезималь-ный эрмитов оператор.
Мы подошли к очень интересному свойству нового волнового уравнения, а
именно к тому,[что оно автоматически разрешает только решения с
положительной энергией. Чтобы в этом убедиться, перепишем уравнения (20)
